Лекция 10(сгм) — 25 Разложение в степенной ряд (1)

1. Специальные главы математики

Лекция 10 Разложение в
степенной ряд

2.

§8. Разложение аналитической функции в
степенной ряд
Рассмотрим несколько примеров.
1. Функцию
сумму
бесконечно
можно
убывающей
трактовать
как
геометрической
прогрессии
В круге | z | < 1 функция
является
аналитической и мы разложили ее по
неотрицательным степеням z (в ряд Тейлора).
2

3.

2. Разделим предыдущее равенство на z3. Получим
разложение
Функция
аналитическая в кольце
0 < |z| < 1, разложена в этом кольце в ряд, содержащий
и положительные, и отрицательные степени z
(ряд Лорана).
3

4.

3. По определению
т.е.
функция ez, аналитическая в круге | z | < ∞, разложена
в этом круге в ряд Тейлора.
Заменяя z на 1/z, получим
это разложение по отрицательным степеням z является
рядом Лорана и справедливо в кольце 0 < |z| < ∞.
4

5.

Теорема 1. Функция f(z), аналитическая в круге
|z − z0| < R, разлагается в этом круге в ряд Тейлора по
степеням (z − z0):
В замкнутом круге |z − z0| ≤ r (r < R) ряд Тейлора
сходится равномерно и его можно почленно
интегрировать и дифференцировать.
Следствие. Радиус сходимости ряда Тейлора
функции f(z) по степеням (z − z0) равен расстоянию от
точки z0 до ближайшей особой точки функции f(z).
(Особая точка функции − точка, в которой функция не
аналитична).
5

6.

Пример 1. Разложить функцию
в окрестности точки z0 = 0.
в ряд
6

7.

Пример 2. Разложить функцию
в окрестности точки z0 = 1.
в ряд
7