Несобственные интегралы с бесконечными пределами

1.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра прикладной математики
И.Г. Руцкова
Электронный курс лекций «Математический анализ»,
часть 12
Оренбург 2017

2.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами: определение

3.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами:
исследование на сходимость
Решение.
b
b
x
1 d x2
1 x 4 dx 2
2
0
01 x
2
b
1
1
1
1
arctgx2 arctgb2 arctg 0 arctgb2 .
2
2
2
2
0
x
1
1
2
dx
lim
arctgb
.
4
b 1 x
b 2
2 2 4
0
b
lim

4.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами:
исследование на сходимость
Решение.
b
dx
d ln x
ln
ln
x
ln ln b ln ln e ln ln b .
x ln x ln x
e
e
e
b
b
b
dx
lim ln ln b .
b x ln x
b
e
lim

5.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами:
исследование на сходимость
Решение.
,
b
b
0
0
sin xdx cos x
1 cos b.

6.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами:
исследование на сходимость
Доказательство.
b
b
ln
x
ln
,
p 1;
a
b
a
1
x p dx x p 1 b b p 1 a p 1
a
, p 1.
p 1
1
p
1
p
a
,
p 1
b
1
a
lim p dx
,
b x
1 p
a
,
p 1;
p 1;
p 1.

7.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами:
исследование на сходимость

8.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами:
исследование на сходимость
Решение.
Решение.
g x
1
1
f x , x 1; .
3
3
x x
x
1
2 cos x
3
, x 1; ,
x
x
x

9.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами:
определение

10.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами:
исследование на сходимость
Решение.
dx
d x 1
0
x2 2 x 2 x 1 2 1 arctg x 1 a arctg1 arctga 4 arctg .a.
a
a
0
0
dx
3
lim 2
lim arctga .
a x 2 x 2 a 4
4 2 4
a
0

11.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами:
определение

12.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами:
исследование на сходимость
с
с
f x dx f x dx f x dx, с R.
Решение.
dx
0
dx
dx
1 x2 1 x2 1 x2
0
lim
a
0
dx
1 x2
lim
a
b
b
dx
1 x2
0
0
dx
lim
lim
arctgx
lim
arctga
,
a 1 x 2
a
a
2
a
a
0
b
dx
lim
lim
arctgx
lim
arctgb
.
b 1 x 2
b
b
2
0
0
b
dx
1 x2 2 2 .