Вращательное движение твердого тела

1.

Кафедра математики и вычислительной техники
ФИЗИКА
Краснодар, 2025

2.

УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ
2

3.

В.1. Момент инерции. Теорема Штейнера.
Вращательным движением
называется такое движение, при
котором каждая точка твердого тела
движется по своей окружности, центры
которых лежат на одной и той же
прямой, называемой осью вращения.
4

4.

m
m
Определение направления векторов угловой скорости
и углового ускорения при движении по окружности
5

5.

Момент инерции I (J) – скалярная величина,
являющаяся мерой инерции твердых тел при
вращательном движении.
Момент инерции тела зависит от того,
относительно какой оси оно вращается и как
распределена масса тела по объему относительно
оси вращения.
Размерность
момента
инерции[I]=
кг*м2
6

6.

Момент инерции материальной точки
равен произведению массы m точки
на квадрат ее расстояния r до оси
вращения:
I mr
2
7

7.

Момент инерции системы нескольких тел
относительно одной оси
равен сумме
произведений масс всех материальных
точек тела на квадраты их расстояний до
оси вращения:
n
I mi ri
i 1
2
8

8.

Момент инерции твердого тела при
непрерывном распределении массы
относительно
оси
вращения,
проходящей через центр масс , равен
интегралу:
R
R – радиус тела
2
или радиус
I r dm
основания
тела
0
9

9.

Моменты инерции некоторых тел простой
формы относительно оси, проходящей через его
центр масс
10

10.

Теорема
Штейнера
Момент инерции I тела относительно
произвольной оси равен моменту его
инерции IC относительно параллельной
оси, проходящей через центр масс тела,
сложенному с произведением массы m
тела на квадрат расстояния a между
осями:
I I c ma
2
11

11.

У
любого
тела
имеются
три
взаимно
перпендикулярные оси, проходящие через его центр масс
(оси X, Y, Z). При отсутствии действия внешних сил
направления таких осей при вращении тела остается
неизменным. Такие оси называются главными
(свободными) осями инерции.
Например, у самолета главными осями инерции
являются продольная ось X, вертикальная ось Y и
поперечная ось Z, проходящие через центр его масс.
Y
X
Z
Изменение главных моментов
инерции самолета оказывает
влияние на его полетные
характеристики.
11

12.

Кинетическая
формуле:
энергия
вращения
I c
Eвр
2
определяется
по
2
I c - момент инерции тела относительно оси,
проходящей через его центр масс
- угловая скорость вращения тела
12

13.

Вопрос № 2 Уравнение вращательного движения
При вращении тела существенна не только
величина силы, но место ее приложения и
направление.
Момент силы относительно оси, проходящей
через точку тела перпендикулярно его поверхности,
есть величина, равная произведению модуля силы
F
на ее плечо
l:
M Fl
13

14.

l
l
Момент силы – псевдо - векторная величина, направленная
вдоль оси вращения по правилу «правого винта» (правило
«буравчика»).
M Н м
- размерность момента силы
14

15.

Получим уравнение динамики вращательного
движения твердого тела, имеющее такое же значение
как и 2-ой закон Ньютона для поступательного
движения.
Рассмотрим вначале одну материальную точку В
тела массой m , движущуюся по окружности под
действием постоянной силы, а затем обобщим на все
тело.
15

16.

F ma - сила по 2-му закону Ньютона
a r - тангенциальное ускорение точки
F m r
2
2
Fr m r mr
M Fr - момент силы
2
I mr - момент инерции
M I
-
основное уравнение
динамики вращательного
движения
16

17.

Формулировка основного уравнения динамики
вращательного движения
Момент сил твердого тела относительно оси
вращения равен произведению момента инерции
относительно той же оси на угловое ускорение.
M I
17

18.

Вопрос № 3. Закон сохранения момента импульса
Момент импульса точки.
При вращательном движении материальной точки
вокруг некоторой оси данная точка будет обладать
импульсом:
P m
Векторное произведение импульса точки на радиус – вектор
ее траектории называется моментом импульса точки:
L r p r m
18

19.

Момент импульса L
– векторная величина,
направленная вдоль оси вращения ОО1 по
правилу буравчика.
L
Вектор момента импульса
совпадает по
направлению с вектором угловой скорости.
O1
L
r
O
l
m
A
19

20.

L rp sin - модуль момента импульса
l r sin
- плечо момента импульса
L p l
- модуль момента импульса материальной точки равен
произведению импульса точки на ее плечо относительно
оси вращения.
L кг м / с - размерность момента импульса
2
20

21.

Момент импульса твердого тела
Li mi i ri mi ( ri )ri mi ri
2
L
- модуль момента импульса одной
точки тела относительно оси вращения
n
n
i 1
i 1
L mi ri 2 mi ri 2 I
L I
Модуль момента импульса твёрдого тела
относительно
некоторой
оси
равен
произведению момента инерции тела
относительно этой оси на угловую скорость
вращения.
21

22.

Продифференцировав выражение момента импульса
получим:
L I
dL
d
I
I M
dt
dt
Эта формула является также еще одной формой записи
основного уравнения динамики вращательного
движения.
dL
M
dt
или
L
M
t
Эта формула выражает закон изменения момента
импульса: вращающий момент сил, действующий на тело,
равен скорости изменения момента импульса тела.
22

23.

В замкнутой системе момент внешних сил равен 0:
dL
0
dt
или
M 0
L const
L0 L
Эта формула выражает закон сохранения момента
импульса: момент импульса замкнутой системы остаётся
постоянным.
- начальный момент импульса тела или системы тел
0
L
L
- конечный момент импульса тела или системы тел
23

24.

Пример № 1 применения закона сохранения импульса
Скамья Жуковского.
0
I 0 0 I
I
I0
0
24

25.

Пример применения закона
сохранения момента импульса
Пример № 2. Неупругое
вращательное столкновение двух
дисков.
Закон сохранения момента
импульса запишется в виде:
L0 L; L0 L01 L02
I1ω1 = (I1 + I2)ω.
При столкновении дисков
L10 I1 1; L20 0 момент инерции увеличился,
угловая скорость
L L1 L2 ( I1 I 2 )
уменьшилась.
Закон сохранения момента импульса справедлив для
любой замкнутой системы тел. Он выполняется,
например, при движении планет по эллиптическим
орбитам (второй закон Кеплера).
25

26.

Вращение вокруг главных осей с наибольшим и
наименьшим
моментом
инерции
является
устойчивым, а вращение около оси со средним
моментом инерции - неустойчивым.
Тяжелое симметричное тело, вращающееся с
большой угловой скоростью вокруг
главной оси
симметрии, относительно которой его момент инерции
максимален или минимален, называется гироскоп.
14

27.

Применение гироскопов
Гироскопы применяются в различных
гироскопических навигационных приборах
(гирокомпас, гирогоризонт и т. д.). Другое
важное
применение
гироскопов
—
поддержание
заданного
направления
движения транспортных средств, например
судна (авторулевой) и самолета (автопилот) и
т. д. При всяком отклонении от курса
вследствие каких-то воздействий (волны,
порыва ветра и т. д.) положение оси
гироскопа в пространстве сохраняется.
28

28.

28

29.

Пример применения основного уравнения динамики
24
вращательного движения
Задача. Два груза на нити, переброшенной через блок,
движутся по вертикали с ускорением, а блок при этом
вращается. Радиус блока r . Массы m1 , m2 грузов, масса
блока m известны. m2 больше m1 .
Найти ускорение а
грузов и силы
натяжения Т1 и Т2
нитей.