Цепи периодических сигналов. Тригонометрическая форма ряда Фурье

1. ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ   5.1. Тригонометрическая форма ряда Фурье

ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
СИГНАЛОВ
5.1. Тригонометрическая форма
ряда Фурье

2.

Явления, происходящие в линейной электрической цепи с
периодической несинусоидальной ЭДС, проще всего поддаются
исследованию, если эту ЭДС разложить на сумму постоянной слагающей
и синусоидальных слагающих (которые называются гармониками).
Полученные таким образом токи и напряжения будут представлять собой
периодические несинусоидальные функции времени, а их период будет
равен периоду заданной несинусоидальной ЭДС.
На рисунке 8.1 показана периодическая несинусоидальная функция
времени с периодом Т.
Вид разложения такой функции зависит от выбора начала отсчета.
В пределах интервала времени T функция f (t ) может быть либо
непрерывной, либо иметь точки разрыва непрерывности.
Считаем, что эти точки разрыва непрерывности обладают свойствами:
Если функция f (t ) имеет разрыв непрерывности в точке t t1 (см. рис.),
то существуют конечные пределы функции f (t ) при приближении к точке
разрыва как справа (т.е. от значений t > t1 ), так и слева (от t < t1 ). Эти
пределы условно обозначаются f (t1 0) и f (t1 0) , или f (t1 ) и f (t1 ) . Такие
точки называются разрывами первого рода (рис.8.1).

3.

f (t ) f (t T )
f (t )
f (t1 0)
f (t1 0)
0
T
t1
Рис. 8.1. Периодическая несинусоидальная функция времени с
периодом Т
Считаем, что в пределах T число разрывов первого рода и число
максимумов и минимумов функции f (t ) - конечны. Функция,
удовлетворяющая этим условиям, может быть представлена в виде
бесконечного гармонического ряда – ряда Фурье.
Сумма этого ряда совпадает со значениями f (t ) для всех точек
непрерывности этой функции, а в точках разрыва дает среднее
арифметическое левого и правого предельных значений f (t ) , т.е.
2
1
f (t ) f (t )
2
(8.1)
Обозначим T , и будем называть основной угловой частотой.

4.

Гармонический ряд в тригонометрической форме имеет вид:
a0
f (t )
(an cos n t bn sin t )
,
2 n 1
(8.2)
t T
где
2 0
an f (t ) cos n tdt
;
T t0
(8.3)
t T
2 0
bn
f (t ) sin n tdt
;
T t0
(8.4)
a0
2 - постоянная слагающая;
an , bn - амплитуда косинусных и синусных членов ряда.
a0
Постоянная слагающая 2 определяется из (8.3) при n 0 и является
средним значением f (t ) за период и равен нулю, когда площади
отрицательных значений и положительных значений f (t ) одинаковы (см.
рис. 8.2).

5.

f (t )
( )
0
( )
T
t
Рис. 8.2. Площади отрицательных и положительных значений f (t )
Коэффициенты ряда Фурье an и bn не зависят от t 0 , следовательно, t 0
может быть выбрано произвольно.
Если t0 0 , и введем t и ( T 2 и d dt ) имеем
a0
f (t ) (an cos n bn sin )
,
2 n 1
(8.5)
2
2
an f ( ) cos n d
где
;
T 0
bn
1
2
f ( ) sin n d
.
0
Если принять t0
T
.
2 , то пределы интегрирования будут равны

6.

Если принять an cos n bn sin n Fn cos(n n ) ,
a
Fn an2 bn2 , n arctg n
где
bn , то ряд получает вид:
a0
f (t ) Fn cos( n n )
2 n 1
(8.6)
Следующая тема