Интеграл

1.

«Применение интеграла к
решению задач»

2. Авторы интегрального исчисления:

3.

Евдо́кс Кни́дский (в части
источников: Эвдокс, др.греч. Εὔδοξος, лат. Eudoxus; ок. 408 год до н. э. —
ок. 355 год до н. э.) —
древнегреческий математик, механик и астроном.
Занимался также
врачеванием, философией и музыкой; был известен
как оратор и законовед.
Неоднократно упоминается у античных авторов.
Сочинения самого Евдокса до нас не дошли, но его
математические открытия изложены в «Началах
Евклида». Среди его учеников
были Каллипп, Менехм и Динострат.

4.

Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц —
немецкий философ, логик, математик,
механик, физик, юрист, историк,
дипломат, изобретатель и языковед.
Основатель и первый президент
Берлинской Академии наук, член
Лондонского королевского общества
(1673),
иностранный
член
Французской Академии наук.

5.

Я́коб Берну́лли — 16
августа 1705, Базель) —
швейцарский математик. Один из
основателей теории
вероятностей и математического анализа.
Старший брат Иоганна Бернулли, совместно с
ним положил начало вариационному
исчислению. Доказал частный случай закона
больших чисел — теорему Бернулли.
Профессор математики Базельского
университета (с 1687 года) Иностранный
член Парижской академии наук (1699)
и Берлинской академии наук (1702).

6.

Сэр Исаа́к Нью́то́н — английский
физик, математик, механик и астроном,
один из создателей классической
физики. Автор фундаментального труда
«Математические начала натуральной
философии», в котором он изложил
закон всемирного тяготения и три
закона механики, ставшие основой
классической механики.

7.

Иога́нн Берну́лли , 27 июля
(6 августа) 1667, Базель — 1
января 1748, там же) —
швейцарский математик, механик,
врач и филолог-классицист, самый
знаменитый представитель семейства
Бернулли, младший брат Якоба
Бернулли, отец Даниила Бернулли.
Один из первых
разработчиков математического
анализа, после смерти Ньютона —
лидер европейских математиков.
Учитель Эйлера.

8.

Криволинейная трапеция
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная
графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака
функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].
У
0
a
x=b
х=а
y = f(x)
b
Х
Отрезок [a;b] называют основанием
этой криволинейной трапеции

9.

Криволинейная трапеция
х
у
1
У=х²+2х
0
2
у 2
-1 0 1
-2
-1
0
х
-1 0
2

10.

Какие из заштрихованных на рисунке фигур
являются криволинейными трапециями, а какие
нет?
Заполнить таблицу
№1
№2
№3
№4
№5
№6
Да/нет

11.

2
1
Не верно
верно
у
3
у
у
y = f(x)
y = f(x) 3
y=
f(x)
У=1
0
4
0
х
5
у
верно
0
х
6
у
y = f(x)
х
y = f(x)
у
y = f(x)
У=3
0
х
Не верно
0
0
х
х
верно
Не верно

12.

Площадь криволинейной трапеции.
y f (x)
y
S
0
a
b
x
S F (b) F (a)
где F(x) – любая первообразная функции f(x).

13.

Формула Ньютона-Лейбница
S F (b) F (a)
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a
b
1643—1727
f ( x)dx F (b) F (a)
a
b
S f ( x)dx
a
1646—1716

14. Площадь криволинейной трапеции

y = f(x)

15. f(x) 0 на отрезке

F(X)
0 НА ОТРЕЗКЕ

16.

Найти площадь криволинейной трапеции,
изображенной на рисунке
У=х²
y
b
S f ( x ) dx
a
3
S х 2 dx F (3) F (1)
1
33 13
2
8 ( кв .ед)
3
3
3
1
0
1
3
x

17. Задача

18.

Найти площадь криволинейной трапеции,
изображенной на рисунке
y
I
1
0
I
-1
y=sinx
2
x

19.

20.

21. Объем тела вращения

22.

23.

24. Вычисление пути по известному закону скорости

Пусть материальная точка движется с ускорением
a (t). Тогда ее скорость равна
t
v(t ) a(t )dt v0
t0
а перемещение
t
x(t ) v(t )dt x0
t0
где v0, x0 – постоянные, определяемые из начальных
условий, t0 и t – начальный и конечный моменты
времени.

25. Задача

На тело массой m=500г, находящееся в покое,
в некоторый момент времени начинает
действовать сила, зависящая от времени,
согласно формуле F=bt, где b=2 н/с.
Определить путь, пройденный телом за 5 с и
приобретенную скорость за это же время

26.

t2
x2
Vx a x dt
A Fx ( x)dx
x1
t1
Работа силы
Изменение скорости
t2
V2
A N (t ) dt
t1
Механическая работа
Q
A PdV
V1
Работа газа
t2
i
Rdt
2
t2
Количество теплоты, выделенное
током в проводнике