3,4 предел

1. Глава 1. Функция. Предел функции

§ 1. Отображение множеств.
Функция

2.

Определение 1. Пусть X и Y два
произвольных множества: X x , Y y .
x X
Если
каждому
элементу
по
определенному правилу ставится в соответствие
один и только один элемент y Y , то говорят, что
на множестве X задана функция с множеством
значений Y.
Обозначение. f : X Y .

3.

Элементы y Y называются значениями
функции в точке x и обозначаются f x .
Элементы x X называются аргументами
функции или независимой переменной.
Множество
X
называется
областью
определения функции, а множество Y
называется множеством значений функции.

4. § 3. Предел

3.1. Предел
последовательности

5.

Определение 1.
Последовательность
–
функция
натурального аргумента.
Последовательностью
называется
функция, у которой множеством значений
является множество натуральных чисел.
Значения функции y1 , y 2 ,..., y n ,... члены последовательности,
y n f (n) - n -й (или общий) член
последовательности.
Обозначение: { y n } .

6.

Рассмотрим последовательность
3 4 5
101
1001
n 1
2,
,
,
,
...,
,
...
, ...
.
2 3 4
100
1000
n
Видно, что члены последовательности с
возрастанием их номера стремятся к 1. Это число
1 и есть предел последовательности.

7.

Это значит, что какое бы число (пусть
даже очень маленькое), мы ни взяли, всегда
найдется такое натуральное число N,
начиная
с
которого
все
члены
последовательности будут отличатся от
своего предела меньше чем на .

8.

Определение 2.
Число a называется пределом числовой
последовательности {xn } , если для 0
N N ( ) такой, что при всех n N выполняется
неравенство | xn a | .
xn a или xn a при n
Обозначение: nlim
.

9.

Числовая последовательность называется сходящейся,
если она имеет предел.
Пусть последовательность сходится.
xn a xn a
a xn a
Последнее неравенство означает, что все члены
последовательности находятся в окрестности точки а.

10.

Геометрический смысл предела
последовательности
a
Число
является
пределом
последовательности {xn } , если, какой бы ни была
-окрестность числа
a,
все
элементы
последовательности {xn } , начиная с некоторого
номера попадут в эту окрестность (так что вне ее
может остаться лишь конечное число этих
элементов).

11.

Покажем что
n 1
lim
1.
n n
Зафиксируем
произвольное
рассмотрим неравенство
n 1
1
n
n 1 n
n
0
1
n
n
1
.
1
n
и

12.

1/100 , то n 100 ,
1/1000 , то n 1000 ,
Т.е. все члены последовательности начиная с
номера 100 отличаются от своего предела
меньше чем на 1/100.

13. 3.2. Предел функции

Определение 3.
Число b называется пределом функции y f x
в точке a R (или «при x , стремящемся к a »),
если для любого числа 0 существует число 0
такое, что для всех x таких что 0 | x a |
выполняется неравенство | f ( x) b |
b lim f x
x a
0 0 x (0 | x a | ) | f ( x) b | .

14.

При значениях x , близких к a , значения
функции f (x) близки к b .
Теорема. Для того чтобы существовал
lim f ( x) b , необходимо и достаточно, чтобы
x a
для любой числовой последовательности {xn }
lim xn a ,
такой,
что
числовая
n
последовательность { f ( xn )} имела предел
lim f ( xn ) b .
n

15.

16. 3.3. Основные теоремы о пределах функций

Теорема 1. Если функция имеет предел, то он
единственный.
Теорема 2. Если функция f (x) имеет предел
при x a , то она ограничена в некоторой
окрестности точки a .

17.

Теорема 3. Если функции f (x) и g (x) имеют
предел при x a , то справедливы равенства
f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) ,
xlim
a
x a
x a
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) ,
x a
x a
lim f ( x)
x a
f ( x) x a
lim
g ( x) 0 ).
x a g ( x)
lim g ( x) (если xlim
a
x a

18.

Теорема 4.
Пусть в некоторой окрестности точки a имеет
место неравенство f ( x) g ( x) .
lim f ( x) и
Тогда если существуют пределы x
a
lim g ( x) , то lim f ( x) lim g ( x) .
x a
x a
x a

19.

Теорема 5.
Пусть в некоторой окрестности точки a
для функций f (x) , g (x) , h(x) имеют место
неравенства f ( x) g ( x) h( x) .
lim f ( x) = lim h( x) b ,
Если существуют пределы x
a
x a
g ( x) b .
то существует предел xlim
a

20. 3.4. Предел функции на бесконечности

Определение 4.
Число b называют пределом функции f (x)
при x (при x ) , если для 0 K 0
такое, что из неравенства x K ( x K ) следует
неравенство | f ( x) b | .
lim f ( x) b
lim
f
(
x
)
b
.
Обозначение:
x
x

21.

Функция приближается к
своему пределу А,
возрастая при x .
Функция приближается к
своему пределу А, убывая
при x .
Функция при x
приближается к своему
пределу А, колеблясь.

22.

§4. Бесконечно малые и
бесконечно большие функции
Определение 1.
Функция f (x) называется бесконечно малой при
f ( x) 0 .
x a ( a R или a ) , если xlim
a

23.

Основные свойства
бесконечно малых функций
f ( x) b функция f ( x) b является
1. xlim
a
бесконечно малой функцией при x a .
2. Сумма, разность и произведение двух
бесконечно малых функций при x a
являются бесконечно малыми функциями
при x a .

24.

3. Если функция f (x) является бесконечно
малой при x a , а функция g (x) ограничена в
некоторой окрестности точки a , то произведение
f ( x) g ( x) является бесконечно малой функцией при
x a .

25.

Определение 2.
f (x)
Функция
называется
бесконечно
большой при x a , если для K 0 0 такое, что
из неравенств 0 | x a | следует неравенство
| f ( x) | K .
Если при этом функция f (x) сохраняет знак
или , то говорят, что она имеет предел или
f ( x) или lim f ( x)
; при этом пишут xlim
a
x a

26. Основные свойства бесконечно больших функций

1. Пусть f (x) – бесконечно большая функция
x a , а g (x) – такая функция, что | g ( x) | 0 в
некоторой окрестности точки a . Тогда f ( x) g ( x) –
бесконечно большая при x a .

27.

2. Пусть f (x) – бесконечно большая
функция при x a , а g (x) – функция,
ограниченная в некоторой окрестности точки
a . Тогда f ( x) g ( x) является бесконечно
большой при x a .

28.

3. Если f (x) – бесконечно большая
функция при x a , то 1 f ( x) – бесконечно
малая при x a .
Обратно, если f (x) – бесконечно малая
функция при x a и f ( x) 0 , то функция 1 f ( x)
является бесконечно большой при x a .

29. Замечательные пределы

1. Первый замечательный предел
sin x
lim
1
.
x 0 x
2. Второй замечательный предел
1
lim 1
x
x
x
1
lim (1 t ) t e
.
t 0

30.

К замечательным пределам также относят
равенства:
log a (1 x)
log a e
x 0
x
,
lim
ln(1 x)
lim
1
x 0
x
,
ax 1
lim
ln a (a 0)
x 0
x
,
ex 1
lim
1
x 0
x
,
(1 x) 1
lim
x 0
x
.

31. Сравнение бесконечно малых

Определение 3.
Пусть f (x) и g (x) – две бесконечно малые
функции при x a и g ( x) 0 в некоторой
окрестности точки a.

32.

Тогда:
f ( x)
lim
0,
x a g ( x)
если
то
f (x)
называют
бесконечно малой более высокого порядка,
чем g (x) при x a , и пишут f ( x) o( g ( x)) при x a ;
если
f ( x)
C 0 , то f (x)
x a g ( x)
lim
и g (x) называют
бесконечно малыми одного порядка при
x a ;

33.

если
f ( x)
1,
x a g ( x)
lim
то
f (x)
и
g (x)
называют
эквивалентными бесконечно малыми при
x a и пишут f ( x) ~ g ( x) при x a .
При вычислении пределов можно заменять
одну б.м.ф. другой, ей эквивалентной.

34.

Наиболее употребительные
эквивалентности
sin x ~ x ,
ln(1 x) ~ x ,
e 1 ~ x ,
x
(1 x) 1 ~ x ,
tg x ~ x ,
( a 0)