2026_05_13

1. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется
произведение их длин на косинус угла между ними.
Если хотя бы один из векторов нулевой, то скалярное
произведение таких векторов считается равным нулю.
Скалярное произведение векторов a1 и a2 обозначается a1 a2 . По
определению, a1 a2 | a1 | | a2 | cos , где φ – угол между
векторами a1 и a2 .
Произведение a a называется скалярным квадратом и
обозначается a 2 . Из формулы скалярного произведения следует
равенство a 2 | a |2 .
Теорема. Скалярное произведение векторов a1 ( x1 , y1 , z1 ) , a2 ( x2 , y2 , z2 )
выражается формулой a1 a2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 .

2. СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

a1 a2
,
Используя формулу cos
| a1 | | a2 |
и формулу скалярного произведения, можно находить угол между
векторами.
Для скалярного произведения векторов справедливы свойства,
аналогичные свойствам произведения чисел:
1. a b b a.
2. (ta ) b t (a b ).
3. (a b )c a c b c .

3. Упражнение 1

Дан куб A … D1. Найдите угол между векторами:
а) D1 A1 и CC1 ;
б) C1 B и DD1 ;
в) DC1 и A1 B ;
г) AC и D1C ;
д) DA1 и B1 B .
Ответ: а) 90о; б) 135о; в) 90о; г) 120о; д) 135о.

4. Упражнение 2

Дан
прямоугольный
параллелепипед
OABCO1A1B1C1,
представленный на рисунке. Найдите скалярное произведение
векторов:
а) AA1 и OB ;
б) C1O1 и C1 A1 ;
в) AB и OB ;
г) CA1 и CA ;
д) O1 B и C1 B .
Ответ: а) 0;
б) 25;
в) 25; г) 89;
д) 100.

5. Уравнение плоскости в пространстве

Теорема. Плоскость в пространстве задается уравнением
ax + by + cz + d = 0,
где a, b, c, d - действительные числа, причем a, b, c
одновременно не равны нулю и составляют координаты
вектора n , перпендикулярного этой плоскости и называемого
вектором нормали.
Угол между двумя пересекающимися
плоскостями, заданными
уравнениями a1x + b1y + c1z + d1 = 0,
a2x + b2y + c2z + d2 = 0 можно найти,
используя формулу
n1 n2
cos
.
| n1 | | n2 |