Проективные методы решения задач элементарной геометрии

1. Дипломная работа

ДИПЛОМНАЯ
РАБОТА
ПРОЕКТИВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Подготовил Веремьёв Иван Юрьевич

2.

ЦЕЛЬ
• систематизация теоретических основ
проективной геометрии и разработка
решения задач элементарной геометрии.
2 9 . 0 6 . 2 0 2 6
методики их эффективного применения для
2

3.

ЗАДАЧИ
3
2 9 . 0 6 . 2 0 2 6
Изучить основные понятия и аксиоматику проективной плоскости.
Рассмотреть ключевые теоремы проективной геометрии (теоремы Дезарга,
Паппа-Паскаля, Брианшона).
Исследовать свойства гармонических четверок точек и двойных отношений.
Классифицировать типы задач элементарной геометрии, решаемых
проективными методами.
Привести примеры решения конкретных задач, демонстрирующие
преимущество проективного подхода перед традиционным евклидовым.

4.

Объект исследования- задачи элементарной
(евклидовой) геометрии и методы их решения.
Методы исследования:
Анализ научной и учебно-методической
литературы по теме исследования;
4
2 9 . 0 6 . 2 0 2 6
Предмет исследования - процесс применения
аппарата проективной геометрии к решению
планиметрических задач.

5.

Методы исследования:
5
2 9 . 0 6 . 2 0 2 6
Логический анализ геометрических
построений;
Метод моделирования (переход от
евклидовой плоскости к проективной);
Сравнительный анализ различных способов
решения одной и той же задачи.

6.

Оглавление
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
6
2 9 . 0 6 . 2 0 2 6
РЕФЕРАТ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ КЛАССИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ПРОЕКТИВНЫМИ МЕТОДАМИ
ГЛАВА 3. КОНСПЕКТ УРОКА ПО ТЕМЕ
“ПОСТРОЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ
ОДНОЙ ЛИНЕЙКИ”

7. Теоретическая база исследования

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ БАЗА ИССЛЕДОВАНИЯ
• В дипломной работе рассмотрены следующие разделы проективной
геометрии:
• Исторический обзор становления науки (от античности до Эрлангенской
программы)
• Понятие бесконечно удалённых элементов
• Принцип двойственности
• Инварианты проективных преобразований
2 9 . 0 6 . 2 0 2 6
• Аксиоматическое построение проективной плоскости

8. Типы решённых задач

Ключевые теоремы, использованные в
работе
В ходе исследования были применены следующие теоремы
Теорема
Построение прямой через недоступную точку
Паппа-Паскаля
Альтернативный способ построения прямой
Брианшона
Двойственное решение задач на построение
О гармонических
свойствах полного
четырёхвершинника
Деление отрезков, построение параллельных
прямых
8
2 9 . 0 6 . 2 0 2 6
Дезарга

9. Типы решённых задач

Т И П Ы Р Е Ш Ё Н Н Ы Х З А Д АЧ
В работе представлены решения задач следующих типов:
• Задачи на построение прямой через недоступную точку
(пересечение прямых за пределами чертежа)
• Задачи на построение параллельных прямых с помощью одной линейки
• Задачи на деление отрезка на равные части (2, 3, 4, 5 и более)
• Задачи на увеличение отрезка в заданное число раз
9
• Задачи на нахождение части отрезка (1/k)
2 9 . 0 6 . 2 0 2 6

10. Методы решения, продемонстрированные в работе

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ,
ПРОДЕМОНСТРИРОВАННЫЕ
В РАБОТЕ
• Метод центрального
проецирования
• Метод сечений
• Метод проективных
соответствий
• Построения с
помощью одной линейки
• Использование гармонически
х четвёрок точек
6/29/2026

11. Пример из дипломной работы

П Р И М Е Р И З Д И П Л О М Н О Й РА Б О Т Ы
• Задача 3. (Соровская олимпиада). Даны три луча l1,l2,l3
в плоскости и три
точки A,B,C. Построить при помощи одной линейки треугольник с вершинами
на этих лучах, стороны которого проходят через точки A,B,C соответственно.
11
2 9 . 0 6 . 2 0 2 6

12. Пример из дипломной работы

П Р И М Е Р И З Д И П Л О М Н О Й РА Б О Т Ы
Задача 13. Даны две параллельные прямые и на одной из них отрезок AD. Разделить этот
отрезок на две равные части.
12
2 9 . 0 6 . 2 0 2 6

13. Методическая разработка

МЕТОДИЧЕСКАЯ
РА З РА Б О Т К А
Третья глава диплома содержит готовый
конспект урока
2 9 . 0 6 . 2 0 2 6
Тема урока: «Построение с
помощью одной линейки»
Тип урока: комбинированный
Структура урока:
• Организационный момент
• Актуализация знаний
• Изучение нового материала
• Решение задач
• Подведение итогов
• Домашнее задание

14. Практическая значимость работы

П РА К Т И Ч Е С К А Я
З Н АЧ И М О С Т Ь РА Б О Т Ы
Где могут быть применены результаты дипломной работы
Форма использования
Школьное образованаие
Факультативные занятия,
математические кружки
Подготовка к олимпиадам
Решение нестандартных
геометрических задач
Педагогическая практика
студентов
Готовый конспект урока
+подборка задач
2 9 . 0 6 . 2 0 2 6
Сфера применения

15. Вывод

ВЫВОД
В дипломной работе:
Систематизированы теоретические основы проективной геометрии
Рассмотрены ключевые теоремы (Дезарга, Паппа-Паскаля, Брианшона)
Приведены конкретные примеры с построениями
Разработан конспект урока для факультативных занятий
2 9 . 0 6 . 2 0 2 6
Показано применение проективных методов к решению 5 типов задач

16.

Спасибо за внимание
16
2 9 . 0 6 . 2 0 2 6