Бесконечно_малые_и_бесконечно_большие_величины

1.

Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Пределы в математическом анализе
Доклад • 1 курс университета

2.

1. Что такое бесконечно малая величина
Величина называется бесконечно малой, если при некотором процессе она стремится к
нулю.
α→0
Пример: 1/x → 0 при x → ∞
Важно: бесконечно малая величина не обязана быть равна нулю.

3.

2. Что такое бесконечно большая величина
Величина называется бесконечно большой, если её абсолютное значение неограниченно возрастает.
x→∞
Пример: lim(x→∞) x = ∞
Другой пример: lim(x→0) 1/x² = ∞

4.

3. Связь между двумя понятиями
Бесконечно малые и бесконечно большие величины связаны через обратную
величину.
Если α → 0 и α ≠ 0, то 1/α → ∞.
И наоборот: если α → ∞, то 1/α → 0.
Пример: 1/x → 0 при x → ∞, поэтому x → ∞.

5.

4. Предел функции
Предел показывает, к какому значению приближается функция.
lim(x→2) (x + 3) = 5
lim(x→∞) 5/x = 0
lim(x→0) 1/x² = ∞
Предел позволяет строго описывать поведение функции.

6.

5. Основные свойства
Если α → 0 и β → 0, то α + β → 0.
Если α → 0, а c — постоянная, то cα → 0.
Если f(x) → A, то f(x) − A → 0.
Пример: x → 0 ⇒ 5x → 0.

7.

6. Итоги
Бесконечно малая величина стремится к нулю.
Бесконечно большая величина неограниченно возрастает по абсолютному значению.
Обратная величина связывает эти понятия.
Предел — основной инструмент для описания такого поведения.
Эти понятия используются при изучении производных, интегралов и рядов.