Системы линейных дифференциальных уравнений

1.

Математика 3
Раздел 1
Дифференциальные уравнения
Системы линейных дифференциальных уравнений
Лектор:
доцент отделения математики
и математической физики
Имас Ольга Николаевна

2.

Cистемы дифференциальных уравнений
ОПР. Совокупность уравнений
F1 ( x, y1 , , yn , y1 ,
F2 ( x, y1 , , yn , y1 ,
F ( x, y , , y , y ,
1
n
1
n
, yn )
, yn )
, yn )
=
=
0,
0,
=
0,
(23)
где x – независимая переменная, y1(x), y2(x), …, yn(x) – искомые функции,
F. 1 , F2 , Fn – известные функции, называется системой д. у. 1-го порядка.
ОПР. Если система (23) допускает возможность разрешения относительно
производных, то получаем систему
dy1
dx = f1 ( x , y1, , y n ),
dy
2
= f 2 ( x , y1, , y n ),
dx
dyn = f ( x , y , , y ),
n
1
n
dx
(24)
которая называется нормальной системой дифференциальных
уравнений. Число уравнений системы называется ее порядком.

3.

Теорема. Всякое дифференциальное уравнение n-го порядка
y ( n ) = f ( x, y, y , y , , y ( n−1) )
может быть заменено эквивалентной ему нормальной системой n-го порядка.
пропустить 12 клеточек
Теорема. (метод исключения переменных. )
Всякая нормальная система n-го порядка может быть заменена
эквивалентным ей дифференциальным уравнением n-го порядка.
пропустить 20 клеточек
Решение этой системы y1 = 1 ( x), y2 = 2 ( x) можно рассматривать как
параметрические уравнения кривой в пространстве трех измерений.

4.

Задача Коши для нормальной системы (24): по заданным уравнениям и начальным
значениям M 0 ( x0 , y10 , y 20 , , y n 0 ) найти решение системы, удовлетворяющее начальным
условиям
y1 ( x0 ) = y10 , y 2 ( x0 ) = y 20 , , y n ( x0 ) = yn 0
(25)
Теорема Коши. Если в некоторой области D (n+1) мерного пространства
f i ( x, y1 , y 2 , , yn ) в системе (25) непрерывны и имеют
функции
непрерывные частные производные по y1 , y 2 , , y n то для любой точки
M 0 ( x0 , y10 , y20 , , yn 0 ) D существует единственное решение
y1 = 1 ( x), y2 = 2 ( x),..., yn = n ( x) системы (25), определенное в некоторой
окрестности точки x0 и удовлетворяющее начальным условиям
y1 ( x0 ) = y10 , y2 ( x0 ) = y20 , , yn ( x0 ) = yn 0
y1 = 1( x, C1 , , Cn )
y = ( x, C , , C )
2
2
1
n
Совокупность n функций
зависящих от
yn = n ( x, C1 , , Cn )
x
и n произвольных постоянных С1, С2, … Сn , называется общим решением
системы (24), если:
1) при любых допустимых значениях постоянных С1, С2, … Сn, она обращает все
уравнения системы (24) в тождество;
2) по заданным начальным условиям y1 ( x0 ) = y10 , y 2 ( x0 ) = y 20 , , y n ( x0 ) = y n 0
можно однозначно определить постоянные С1, С2, … Сn.
ОПР. Общего решения.

5.

Линейные системы дифференциальных уравнений
ОПР. Cистема линейных дифференциальных уравнений первого порядка,
разрешенных относительно производной, называется нормальной
системой дифференциальных уравнений
n
dyi
= aij ( x) y j + bi ( x), (i = 1, n)
dx
j =1
(26)
Здесь x – независимая переменная, yi(x) – искомая система
функций, aij(x) и bi(x) – заданные функции
В системе уравнений (26) обозначим матрицы
a11 ( x) a12 ( x)
a21 ( x) a22 ( x)
A=
an1 ( x) an 2 ( x)
a1n ( x)
a2 n ( x)
ann ( x)
b1 ( x)
b
(
x
)
B ( x) = 2
b
(
x
)
n
y1 ( x)
y
(
x
)
Y ( x) = 2
yn ( x )
Тогда система может быть записана в компактной матричной форме:
dY
= A Y + B
dx
или
Y − AY = B

6.

Определим линейный дифференциальный оператор
L Y = Y − AY
Тогда
L Y = B
операторная форма неоднородной системы
Тогда
L Y = 0
операторная форма однородной системы
(27)
Теоремы о свойствах решений системы линейных ДУ.
1. Если Y1, Y2,… Yn – решения системы (27), то их линейная комбинация
тоже является решением.
k
C Y = C Y + C Y + + C Y
i =1
i
i
1 1
2
2
k
k
2. Если система (27) с действительными коэффициентами aij(x) имеет
комплексное решение Y=U+iV , то действительная и мнимая части
v1
u1
v
u
2
U = 2 и V = в отдельности тоже являются решением той же системы.
vn
un

7.

ОПР. Фундаментальной системой решений линейной однородной системы
(27) называется ее n линейно независимых решений
yn1 ( x)
y11 ( x)
y21 ( x)
y12 ( x)
y22 ( x)
yn 2 ( x )
Y1 =
, Y2 =
, , Yn =
y1n ( x)
y2 n ( x )
ynn ( x)
3. Если Y1, Y2,… Yn – фундаментальная система решений (27), то общее
решение
этой
системы
есть
линейная
комбинация
решений
фундаментальной
системы
с
произвольными
постоянными
коэффициентами Ci.
4. Если Y - решение неоднородной система (26), а Yi – решения
соответствующей однородной системы, то сумма Y + Yi является
решением неоднородной системы.
Доказательства всех выше сформулированных теорем аналогичны тем, что
мы провели для дифференциальных уравнений высших порядков