алгебра 16.09

1.

Алгебраические дроби
Алгебра
8 класс
Учитель математики Сергеев В.В.

2. Алгебраические дроби. Основные понятия

Алгебраической дробью называют выражение P/Q, где Р и
Q – многочлены; Р – числитель алгебраической дроби, Q –
знаменатель алгебраической дроби.
a+b
,
a −b
x2 − x
,
3
x + 2x −1
m2 − 4 c 5z + 2
,
,
.
m+2
3
10

3.

Алгебраические дроби. Основные понятия
Пример 1. Найти значение алгебраической дроби
x2 + 2x +1
(x + 1)(x − 1)
при a) x = 2; b) x = 0; c) x = 1.
x 2 + 2 x + 1 22 + 2 2 + 1 9
при a) x = 2
=
= = 3;
(x + 1)(x − 1) (2 + 1)(2 − 1) 3
x 2 + 2 x + 1 02 + 2 0 + 1 1
при b) x = 0
=
=
= −1;
(x + 1)(x − 1) (0 + 1)(0 − 1) − 1
x 2 + 2 x + 1 12 + 2 1 + 1
при c) x = 1
=
− невозможно;
(x + 1)(x − 1) (1 + 1)(1 − 1)
x2 + 2x +1
при x = 1 выражение
− не имеет смысла
(x + 1)(x − 1)

4.

Алгебраические дроби. Основные понятия
Пример 2. Найти значение алгебраической дроби
m 2 + 2mn + n 2
(m + n)(m − n)
при a) m = 5, n = 2; b) m = 0, n = 7; c) m = 3, n = 3.
m2 + 2mn + n 2 52 + 2 5 2 + 22 49 7
при a) m = 5, n = 2
=
=
= ;
(m + n)(m − n) (5 + 2)(5 − 2) 21 3
при a) m = 0, n = 7
m2 + 2mn + n 2 02 + 2 0 7 + 7 2
49
=
=
= −1;
(m + n)(m − n) (0 + 7)(0 − 7) − 49
m2 + 2mn + n 2 32 + 2 3 3 + 32
при c) m = 3, n = 3
=
− невозможно;
(m + n)(m − n) (3 + 3)(3 − 3)
m2 − 2mn + n 2
при m = 3, n = 3 выражение
не имеет смысла
(m + n)(m − n)

5. Алгебраические дроби. Основные понятия

Пример 2. Найти значение алгебраической дроби
m 2 + 2mn + n 2
(m + n)(m − n)
при a) m = 5, n = 2; b) m = 0, n = 7; c) m = 3, n = 3.
(
m + 2mn + n
m + n)
m+n
=
=
(m + n)(m − n) (m + n)(m − n) m − n
2
2
2
m+ n 5+ 2 7
при a) m = 5, n = 2
=
= ;
m−n 5−2 3
m+n 0+7
при a) m = 0, n = 7
=
= −1;
m−n 0−7
m + n 3+3
при c) m = 3, n = 3
=
− не имеет смысла.
m − n 3−3

6. Алгебраические дроби. Основные понятия

Пример 3. Найти значения переменных, при
которых алгебраические дроби не имеют смысла
m2 + 6
а)
т−2
дробь имеет смысл, если т − 2 0
т−2=0
т=2
12с + 5
б)
Ответ : при т = 2.
с(с + 3)
дробь имеет смысл, если с(с + 3) 0
с(с + 3) = 0
с = 0 или с + 3 = 0
с = −3
Ответ : при с = 0; с = −3.

7. Алгебраические дроби. Основные понятия

Пример 4. Найти значения переменных, при
которых алгебраические дроби равны нулю
m+8
а)
=0
т−4
дробь равна нулю, если
числитель = 0,
знаменатель ≠ 0.
т + 8 = 0,
т − 4 0;
т = −8,
т 4.
Ответ: при т = – 8.

8. Алгебраические дроби. Основные понятия

Пример 4. Найти значения переменных, при
которых алгебраические дроби равны нулю
с 2 − 16
= 0 дробь равна нулю, если
б)
2с + 8
С другой стороны:
с 2 − 16 = 0,
2
2
с
+
8
0
;
с
− 16 (с − 4)(с + 4) с − 4
=
=
2с + 8
2(с + 4)
2
(с − 4)(с + 4) = 0,
с − 4 = 0;
2(с + 4) 0;
с − 4 = 0 или с + 4 = 0, с = 4.
с + 4 0;
с = 4 или с = −4, ‒ не подходит
с −4;
Ответ: при с = 4.
с = 4.

9. Основное свойство алгебраической дроби

1. И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно
умножить на один и тот же многочлен (в частности, на
один и тот же одночлен, на одно и то же отличное от нуля
число); это – тождественное преобразование заданной
алгебраической дроби.
a + b (a + b )(a + 3)
=
,
a − b (a − b )(a + 3)
x − 2 (x − 2) х
=
,
x + 7 (x + 7 ) х
(
)
m2 − 4 m2 − 4 9
=
.
(m + 2)9
m+2

10. Основное свойство алгебраической дроби

2. И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно
разделить на один и тот же многочлен (в частности, на
один и тот же одночлен, на одно и то же отличное от нуля
число); это — тождественное преобразование заданной
алгебраической дроби, его называют сокращением
алгебраической дроби.
(m + n)(m + 4) = m + n ,
(m − n)(m + 4) m − n
(a − b ) 2c = a − b ,
2c(a + b ) a + b
p 2 − 4 ( p − 2)( p + 2)
=
= p − 2.
p+2
p+2

11.

Основное свойство алгебраической дроби
Пример 3. Привести дроби к общему знаменателю:
2n
9m 3
и
5n3
;
2
27m
Общий знаменатель: 27m
3
2n
6n
=
;
3
3
9m
27 m
m
3
5mn
5n
=
.
2
3
27m
27m
3
3

12.

Основное свойство алгебраической дроби
Пример 4. Привести дроби к общему знаменателю:
15а
2а − с
и
4с 2
;
2а + с
Общий знаменатель: (2а − с )(2а + с ) = 4а 2 − с 2
2а + с
15а
30а 2 + 15ас
15а(2а + с)
=
=
;
2
2
2а − с (2а − с )(2а + с )
4а − с
2а − с
4с 2 (2а − с )
8ас 2 − 4с 3
4с 2
=
.
=
2
2
4а − с
2а + с (2а + с )(2а − с )

13.

Основное свойство алгебраической дроби
Пример 5. Привести дроби к общему знаменателю:
16
9с 2 − 4
Общий знаменатель:
и
5с
;
2 + 3с
(3с − 2)(3с + 2) = 9с 2 − 4
1
16
16
16
= 2
;
=
2
9с − 4 (3с − 2)(3с + 2) 9с − 4
3с − 2
2
15
с
− 10с
5с
5с
5с(3с − 2) =
.
=
=
2
9с − 4
2 + 3с 3с + 2 (3с + 2)(3с − 2)

14.

Умножение и деление алгебраических дробей.
Возведение алгебраической дроби в степень
Умножение, деление, возведение в степень алгебраических
дробей осуществляется по тем же правилам, что и
умножение, деление, возведение в степень обыкновенных
дробей:
a c ac
=
b d bd
a c a d ad
: = =
b d b c bc
n
n
a
a
= n
b
b

15.

Умножение и деление алгебраических дробей.
Возведение алгебраической дроби в степень
Пример 6. Выполните действия:
6х − 6 у x2 − y 2
;
x+ y
12 y
6(х − у ) (x − y )(x + y )
6х − 6 у x − y
=
=
x+ y
12 y
x+ y
12 y
2
2
6(х − у )(x − y )(x + y ) (х − у )
=
=
2y
(x + y ) 12 y
2

16.

Умножение и деление алгебраических дробей.
Возведение алгебраической дроби в степень
Пример 7. Выполните действия:
8a 4b 6 5a 2 + 10ab + 5b 2
;
5 3
5a + 5b
24a b
(
)
8a 4b6 5 a 2 + 2ab + b 2
8a 4b 6 5a 2 + 10ab + 5b 2
=
=
5 3
5 3
5(a + b )
24a b
5a + 5b
24a b
b 3 (a + b )
8a b 5(a + b )
=
=
5 3
3a
5(a + b ) 24a b
4 6
2

17.

Умножение и деление алгебраических дробей.
Возведение алгебраической дроби в степень
Пример 8. Выполните действия:
a 3 − 8 a 2 + 2a + 4
:
;
4
2
13a
26a
3
2
a
−
8
26
a
a − 8 a + 2a + 4
2
=
:
=
4
4
2
13a a + 2a + 4
13a
26a
3
2
(
a − 2)(a 2 + 2a + 4) 26a 2 2(a − 2 )
=
=
(
13a 4 a 2 + 2a + 4
)
a2

18.

Умножение и деление алгебраических дробей.
Возведение алгебраической дроби в степень
Пример 9. Выполните действия:
x2 − y2
y−x
:
;
xy + 2 y − 4 x − 8 x + 2
x −y
x+2
x −y
y−x
=
:
=
xy + 2 y − 4 x − 8 x + 2 y(x + 2) − 4(x + 2) y − x
2
2
2
2
(
x − y )(x + y ) x + 2 (x − y )(x + y )(x + 2)
=
=
=
(x + 2)( y − 4) y − x (x + 2)( y − 4)( y − x )
(
x+ y
x − y )(x + y )
=
=
− ( y − 4)(x − y ) − ( y − 4)

19.

Умножение и деление алгебраических дробей.
Возведение алгебраической дроби в степень
Пример 10. Выполните действия:
3
6х у
;
a )
4
5m
3
2
4
2a c k
;
b) −
2
7(a − b )
4 5
3
3
6х у
63 х 9 у 6 216 х 9 у 6
= 3 12 =
a )
;
4
12
125m
5m
5m
3
2
4
2a c k
2 4 a16c 20k 12 16a16c 20k 12
= 4
b) −
=
2
8
8
(
)
7
a
−
b
(
)
(
)
2401
a
−
b
7
a
−
b
4 5
3

20. Первые представления о решении рациональных уравнений

Пример 11. Решите уравнение
2
5
8 x − 3 3x + 7
−
=0
5
2
2(8 x − 3) − 5(3x + 7 ) = 0
16 x − 6 − 15 x − 35 = 0
16 x − 15 x = 6 + 35
x = 41
Ответ: 41.
10