Лекция 17. Энергетический метод определения деформаций при изгибе

1. Лекция 17.

Энергетический метод определения
деформаций при изгибе.

2.

Интеграл Мора.
M xF M I
dz
EI x
l
y =
- формула Максвелла-Мора
функция, описывающая изгибающий момент действующий на
M xF -участке
балки от внешних нагрузок.
MI
- функция, описывающая изгибающий момент действующий на
участке балки от единичной нагрузки.
СИЛА равная 1
Результат вычисления – прогиб балки
в точке приложения единичной силы.
EI x - жесткость балки.
Момент равный 1
Результат вычисления – угол поворота
сечения балки в точке приложения
единичного момента

3.

Интеграл Мора.
Формула Максвелла-Мора c учетом поперечных и продольных сил.
yQyF QI
M xF M I
NF NI
y =
dz +
dz +
dz
EA
GA
EI x
l
l
l
Определение перемещений при плоском изгибе.
Если l – длина элемента, h – высота поперечного сечения:
l/h>8, то допускается учитывать только изгибающие моменты;
5<l/h<8, то необходимо учесть и поперечные силы;
l/h<5, то применение интеграла Мора дает большие погрешности в
расчетах, поэтому перемещения следует определять
методами теории упругости.

4.

Интеграл Мора.
Порядок определения перемещений с помощью интеграла Мора:
• необходимо найти аналитические выражения внутренних усилий на
отдельных участках системы от заданной нагрузки;
• освободить систему от внешних нагрузок и по направлению искомого
перемещения следует приложить единичный силовой фактор;
• необходимо найти аналитические выражения внутренних усилий в
сечениях отдельных участков системы от единичного усилия;
•Подставив найденные выражения в формулу Мора, следует
определить искомое перемещение интегрированием по отдельным
участкам системы и суммированием результатов.

5.

Способы вычисления интеграла
Мора.
Интеграл Мора, в котором подынтегральное выражение есть
произведение двух функций, может быть вычислен различными
методами в зависимости от вида этих функций. Заметим, одна из них,
связанная с эпюрой внутренних усилий от единичного сосредоточенного
воздействия, всегда линейная.
1. Непосредственное интегрирование – практически не имеет
ограничений по использованию.
2. Способ Верещагина – удобен на тех участках, на которых легко
можно определить центр тяжести одной из эпюр (обычно это относится к
эпюре от грузового воздействия).
3. Формула Симпсона – применима в случае квадратичного закона
изменения эпюры от грузового воздействия. Формула трапеций –
применяется в случае линейности обоих эпюр.
Способ Верещагина и формула Симпсона имеют ограничения связанные
с тем, что жесткость балки в рамках расчетного участка считается
величиной постоянной. Интеграл Мора принимает следующий вид:
1
y =
M xF M I dz
EI x l

6.

Способ Верещагина.
(способ перемножения эпюр)
Для вычисления интеграла Мора вида:
y =
1.
2.
1
M xF M I dz
EI x l
на отдельном участке балки, необходимо:
Рассчитать площадь нелинейной эпюры и умножить на ординату линейной
эпюры под центром тяжести нелинейной эпюры и разделить данное
произведение на жесткость EIх расчетного участка балки (в случае если обе
эпюры линейны безразлично для какой эпюры рассчитывать площадь, а для
какой ординату;
Произвести данный расчет на всех участках балки;
Просуммировать результаты.
Практические рекомендации по применению правила Верещагина:
В рамках расчетного участка эпюра для расчета площади не может быть
знакопеременной (необходимо разбить на доп. участки);
Результат перемножения площади на ординату считается положительным,
если обе эпюры располагались по одну сторону от оси эпюры.

7.

Формула Симпсона.
(способ перемножени эпюр)
Интеграла Мора вида:
y =
1
M xF M I dz С помощью формулы Симпсона рассчитывается:
EI x l
Для перемножения нелинейного
участка с линейным:
l
l
M
M
dz
=
0 xF I 6 (a1a2 + 4b1b2 + c1c2 )
a1
b1
с1
Для перемножения двух
линейных участков:
l
l
M
M
dz
=
0 xF I 6 (2a1a2 + 2c1c2 + a1c2 + a2c1 )
a1
c1
l
l
a2
a2
b2
l/2
c2
c2