irrational_equations_10_class

1.

Иррациональные
уравнения
Иррациональные уравнения · 10 класс
1

2.

Что такое иррациональное уравнение?
Корень есть в уравнении не для красоты, хотя иногда кажется именно так.
Иррациональное
Переменная находится под
знаком корня: √x, √(x+2),
√(3x−1).
Не иррациональное
Если корень только из числа:
√2·x + 5 = 0. Тут x под корнем не
сидит.
Главная цель
Избавиться от корней так, чтобы не
потерять условия и не принять лишний
корень.
Иррациональные уравнения · 10 класс
2

3.

Два правила, без которых всё ломается
Да, именно два. И оба школьники почему-то пытаются игнорировать.
1. Подкоренное выражение ≥ 0
Для квадратного корня: если есть √(x−4), то x−4 ≥ 0,
значит x ≥ 4.
2. После возведения в квадрат проверяем
Квадрат может добавить лишние корни. Они выглядят
уверенно, но это обман.
Квадрат: x + 2 = x² → x² − x − 2 = 0 → x = 2 или x = −1
Проверка: x = 2 подходит, x = −1 не подходит.
Иррациональные уравнения · 10 класс
3

4.

Алгоритм решения
Не геройствуйте. Просто идите по шагам.
1
ОДЗ: что под
корнем не
меньше нуля
2
Оставить один
корень в одной
части
3
Возвести обе
части в квадрат
4
Решить
получившееся
уравнение
5
Проверить ответы
в исходном
уравнении
Миниформула:
Иррациональные уравнения · 10 класс
4

5.

Лёгкий пример №1
Один корень, число справа. Математика ещё не включила режим босса.
Пример
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
ОДЗ: x + 5 ≥ 0, значит x ≥
−5.
Возводим в квадрат: x +
5 = 9.
x = 4. Проверка: √9 = 3.
Ответ: x = 4
Тут всё честно: корень был один, справа положительное число, лишних сюрпризов почти
нет.
Иррациональные уравнения · 10 класс
5

6.

Лёгкий пример №2
Справа выражение, значит условий уже больше. Праздник бюрократии.
Условия
2x−1 ≥ 0 и x−1 ≥ 0. Значит x ≥ 1.
Квадрат
2x−1 = (x−1)² → x²−4x+2 = 0.
Корни
x = 2 ± √2. По условию x ≥ 1
остаётся только 2 + √2.
Ответ: x = 2 + √2
Иррациональные уравнения · 10 класс
6

7.

Средний пример №1
Два корня, но решение ещё приличное. Такое бывает, не привыкайте.
ОДЗ
x ≥ 0.
Перенос
√(x+5) = 5 − √x.
Квадрат
x+5 = 25 −10√x + x → √x = 2.
Финал: x = 4. Проверка: √9 + √4 = 3 + 2 = 5.
Совет: когда корней два, обычно сначала изолируют один корень, а не устраивают
алгебраический костёр.
Иррациональные уравнения · 10 класс
7

8.

Средний пример №2
Два ответа, оба настоящие. Редкий случай, когда всё не пытается вас обмануть.
ОДЗ
x+1 ≥ 0 и 4−x ≥ 0 → −1 ≤ x ≤ 4.
Квадрат
5 + 2√((x+1)(4−x)) = 9.
Решение
√((x+1)(4−x)) = 2 → (x+1)(4−x)=4 → x(3−x)=0.
Ответ: x = 0 и x = 3
Иррациональные уравнения · 10 класс
8

9.

Сложный пример №1
Корень минус корень. Место, где проверка уже не украшение, а спасательный круг.
ОДЗ
x ≥ 2.
Квадрат
2x+3 − 2√((x+5)(x−2)) = 1.
Изоляция
√((x+5)(x−2)) = x + 1.
Квадрат ещё раз: (x+5)(x−2) = (x+1)² → x = 11
Проверка: √16 − √9 = 4 − 3 = 1. Ответ: x = 11
Иррациональные уравнения · 10 класс
9

10.

Сложный пример №2
Когда корень равен корню плюс корню. Почти сюжет сериала, но с ОДЗ.
ОДЗ
x ≥ 1/2.
Квадрат
3x+6+2√((x+7)(2x−1)) = 5x+6.
Упрощение
√((x+7)(2x−1)) = x.
Ещё квадрат: (x+7)(2x−1)=x² → x²+13x−7=0
Ответ: x = (−13 + √197) / 2
Иррациональные уравнения · 10 класс
10

11.

Типичные ошибки
Почти всё здесь происходит из-за желания сэкономить 20 секунд. Наивные существа.
Ошибка 1
Не записали ОДЗ: получили ответ,
который не имеет смысла под
корнем.
Ошибка 2
Возвели в квадрат и забыли
проверить исходное уравнение.
Ошибка 3
Неправильно раскрыли квадрат
суммы: (a+b)² = a² + 2ab + b².
Проверка ответа в исходном уравнении — обязательна.
Иррациональные уравнения · 10 класс
11

12.

Тренировка
Сначала решаем, потом смотрим ответы. Так мозг хотя бы делает вид, что работает.
Лёгкое
√(x−1)=4
Ответ: x = 17
Лёгкое+
√(3x+1)=x−1
Ответ: x = 5
Среднее
√(x+6)+√x=6
Ответ: x = 4
Сложное
√(x+9)−√x=1
Ответ: x = 16
Сложное+
√(x+2)+√(5−x)=3
Ответ: x = −1 или x = 4
Правило тренировки: не просто получить x, а доказать, что он подходит.
Иррациональные уравнения · 10 класс
12

13.

Итог: что нужно запомнить
Иррациональные уравнения не страшные. Они просто требуют дисциплины, что уже неприятно.
1
Записывайте ОДЗ: под квадратным
корнем не может быть
отрицательного числа.
2
Изолируйте корень и аккуратно
возводите в квадрат.
3
Всегда проверяйте корни в
исходном уравнении.
ОДЗ → изоляция корня → квадрат → решение → проверка → ответ
Иррациональные уравнения · 10 класс
13