https___myschool.72to.ru_ej_attachments_files_004_315_345_original_1%20%D0%A3%D1%80%D0%BE%D0%BA_. (1)

1. Матрицы

2.

МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ
НАД НИМИ
Матрицей размера m x n называется
прямоугольная таблица чисел,
содержащая m строк и n столбцов.
Числа, составляющие матрицу, называются
элементами матрицы.

3.

Обозначение:
A
- матрица размерности m x n
a ij
- элемент матрицы i –ой строки и j -го
столбца,
m n
где
i=1,2…m
j=1,2…n

4.

a11 a12
a21 a22
A = (aij ) =
m n
...
...
a
m1 am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
матрица размерности m x n

5.

Виды матриц
❖ Прямоугольная
❖ Квадратная
❖ Нулевая
❖ Единичная
❖ Диагональная
❖ Симметричная
❖ Вырожденная
❖ Равные
❖ Треугольная
❖ Квазитреугольная (ступенчатая или
трапециевидная)
❖ Матрица-строка или строчная матрица
❖ Матрица-столбец или столбцевая матриц

6.

Две матрицы называются равными, если
у них одинаковая размерность и
совпадают строки и столбцы.
Если число строк матрицы равно числу ее
столбцов, то такая матрица называется
квадратной.

7.

Пример:
0 − 2
1
A = − 2 4
5
0 −3 1
- квадратная матрица размерности 3х3

8.

Элементы матрицы aij , у которых номер
столбца совпадает с номером строки,
называются диагональными.
Если в квадратной матрице все
диагональные элементы равны 1, а
остальные элементы равны 0, то
она называется единичной.

9.

1
0
E =
...
0
0 ... 0
1 ... 0
... ... ...
0 ... 1
единичная матрица

10. СВОЙСТВО ЕДИНИЧНОЙ МАТРИЦЫ: A•E=E•A=A

5 7 4 1 0 0 5 7 4
3 −6 8 0 1 0 = 3 −6 8
11 4 0 0 0 1 11 4 0
1 0 0 5 7 4 5 7 4
0 1 0 3 −6 8 = 3 −6 8
0 0 1 11 4 0 11 4 0

11.

Матрица любого размера называется
нулевой, если все ее элементы равны 0.
0
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
0
0
...
0
нулевая матрица

12.

Матрица, состоящая из одной строки,
называется матрицей-строкой или
вектором-строкой.
A = (a11 a12 ... a1n )
матрица-строка

13.

Матрица, состоящая из одного столбца,
называется матрицей-столбцом или
вектором-столбцом.
b11
b21
B=
b
n1
матрица-столбец

14.

С
помощью матриц удобно
различного рода зависимости.
Например:
Распределение
экономики:
ресурсов
по
описывать
отраслям
Ресурсы
Промышленность
с/хозяйство
Эл.
энергия
Труд.
ресурсы
Водные
ресурсы
8
7.2
5
3
4.5
5.5

15.

Эту зависимость можно представить в виде
матрицы:
8 7.2
A = 5
3
3 2
4.5 5.5
Где элемент aij показывает сколько i – го
ресурса потребляет j – отрасль.
Например, a32 показывает, сколько воды
потребляет сельское хозяйство.

16.

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
1. Умножение матрицы на число
Чтобы умножить матрицу на число, надо
каждый элемент матрицы умножить на
это число.
Полученные
произведения
итоговую матрицу.
образуют

17.

Пусть дана матрица
A = (aij )
m n
Умножаем ее на число λ:
A= B
Где каждый элемент матрицы В:
bij = aij
Где:
i = 1,2...m
j = 1,2...n

18.

Например:
Умножая матрицу
2 3 0
A =
1 0 4
на число 2, получим:
2 2 3 2 0 2 4 6 0
=
A 2 =
1 2 0 2 4 2 2 0 8

19.

2. Сложение матриц
Складываются матрицы одинаковой
размерности. Получается матрица той же
размерности, каждый элемент которой
равен сумме соответствующих
элементов исходных матриц.

20.

Пусть даны матрицы
Складываем их:
A = (aij )
B = (bij )
A+ B = C
Где каждый элемент матрицы С:
cij = aij + bij
Аналогично проводится вычитание матриц.

21.

Пример.
Найти сумму и разность матриц:
2 3 0
A =
1 0 4
0 − 2 3
B =
1 5 2

22.

Решение:
2 1 3
A + B =
2 5 6
2 5 − 3
A − B =
0 −5 2

23.

3. Умножение матриц
Умножение матриц возможно, если число
столбцов первой матрицы равно числу строк
второй.
Тогда каждый элемент полученной матрицы
равен сумме произведений элементов i – ой
строки
первой
матрицы
на
соответствующие элементы j-го столбца
второй.

24.

Пусть даны матрицы
A = (aij )
m k
B = (bij )
k n
Умножаем их:
A B = C
m k k n
m n
Где каждый элемент матрицы С:
cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + aik bkj
i = 1,2...m
j = 1,2...n

25.

Пример.
Найти произведение матриц:
2 3 0
A =
1 0 4
1 0
B = 1 4
0 2

26.

Решение:
Число столбцов первой матрицы равно
числу строк второй, следовательно их
произведение существует:
2 1 + 3 1 + 0 0 2 0 + 3 4 + 0 2 5 12
=
A B =
2 3 3 2
1 1 + 0 1 + 4 0 1 0 + 0 4 + 4 2 1 8

27.

Теперь перемножим матрицы в обратном
порядке:
1 2 + 0 1 1 3 + 0 0 1 0 + 0 4 2 3 0
B A = 1 2 + 4 1 1 3 + 4 0 1 0 + 4 4 = 6 3 16
3 2 2 3
0 2 + 2 1 0 3 + 4 0 0 0 + 2 4 2 0 8
Умножение
матриц
некоммутативно:
в
A B B A
общем
случае

28.

Перечисленные операции над матрицами
обладают следующими свойствами:
1
А+В=В+А
2
(А+В)+С=А+(В+С)

29.

3
λ(А+В)= λА+λВ
4
А(В+С)=АВ+АС
5
А(ВС)=(АВ)С

30.

4. Транспонирование матриц
Матрица АТ называется
транспонированной к матрице А, если
в ней поменяли местами строки
и столбцы.
a11 a12
a21 a22
A =
m n
...
...
a
m1 am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
a11 a21
a12 a22
T
A
=
... ...
n m
a1n a2 n
... am1
... am 2
... ...
... amn

31.

свойства операции
траспонирования:
1
(АТ)Т=А
2
(А+В)Т=АТ+ВТ

32.

3
(λА)Т= λАТ
4
(АВ)Т=ВТАТ

33.

Пример.
Транспонировать матрицу:
1 2 3
A = 4 5 6
7 8 9

34.

Решение:
1 4 7
T
A = 2 5 8
3 6 9

35.

Спасибо за внимание!