Лекция_06

1.

§ 4. Общее уравнение линии второго порядка
Линией второго порядка называют линию, определяемую
уравнением второй степени
Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 ,
A B D
где определитель = B C E называют дискриминантом уравнения, а
D E F
A B
определитель =
называют дискриминантом старших членов
B C
уравнения. В зависимости от значений определителей и уравнение
определяет следующий геометрический образ (табл. 2.1).
Таблица 2.1
0
=0
0 Эллипс (действительный Точка
или мнимый)
Пара пересекающихся прямых
0 Гипербола
Пара параллельных прямых
= 0 Парабола
(действительных или мнимых)

2.

Пример.
Выяснить
геометрический
смысл
уравнения
x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 25 = 0 .
В данном случае имеем A = 1, B = 0, C = 1, D = −3, E = −4, F = 25 .
Тогда получим
A
1
0
−3
E = 0
1
− 4 = 1
B D
= B C
D E
F
−3 −4
25
1
−4
−4
25
+ (− 3)
0
1
−3 −4
= 9 −9 = 0,
= 1 0 = 1.
0 1
Следовательно, искомая линия – точка.
Этот ответ можно получить другим путем. Преобразуя заданное
уравнение, получим
x 2 − 6 x + 9 + y 2 − 8 y + 16 = 0
или
(x − 3)2 + ( y − 4)2 = 0 .
Это уравнение имеет единственное решение x = 3, y = 4 . Следовательно,
искомая линия – точка (3; 4).

3.

§ 5. Преобразование декартовых координат на плоскости
Координаты ( x, y ) в данной декартовой системе координат OXY
преобразуют к координатам ( x , y ) в новой декартовой системе
координат O X Y по следующим формулам.
а) При параллельном сдвиге осей координат OX и OY и перенесении
начала координат из точки O(0,0 ) в точку Y
Y
O ( x0 , y 0 ) (рис. 2.13):
y
y
M(x,y)
x = x + x0 , y = y + y 0 .
Пример. Уравнение окружности с
x
X
центром в точке C ( x0 , y0 ) и радиусом R y0 O
имеет вид
O
x0 x
X
(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 = R 2 .
Рисунок 2.13

4.

б) При повороте осей координат OX и OY на угол (рис. 2.14):
x = x cos − y sin ,
Y
M(x,y)
Y y
X
y = x sin + y cos .
x
Пример. При повороте осей координат OX и y
OY на острый угол новая абсцисса точки M(2;4) O
x X
стала равна 4. Найти угол .
Рисунок 2.14
Подставляя в систему уравнений
x = x cos − y sin ,
y = x sin + y cos ,
числовые данные согласно условию задачи, получим
2 = 4 cos − y sin ,
4 = 4 sin + y cos .
Умножим первое уравнение системы на cos , второе уравнение
умножим на sin и сложим полученные уравнения. Тогда после
сокращений получим
2 cos + 4 sin = 4 cos 2 + 4 sin 2
cos + 2 sin = 2 .

5.

После переноса 2 sin в правую часть уравнения получим
cos = 2 − 2 sin .
После возведения в квадрат полученного уравнение, имеем
cos 2 = 4 + 4 sin 2 − 8 sin .
Избавляясь от cos по формуле cos 2 = 1 − sin 2 , получим уравнение
5 sin 2 − 8 sin + 3 = 0 ,
откуда, решая квадратное уравнение относительно sin , получим
4 16 − 15 4 1
sin =
=
.
5
5
Следовательно, искомый острый угол равен = arcsin 0,6 .

6.

§ 6. Полярные координаты
Говорят, что на плоскости задана полярная система координат,
если заданы (рис. 2.15):
r
M
O
u
Рисунок 2.15
1) точка O, называемая полюсом;
2) луч u, исходящий из точки O, называемый полярной осью.
Полярными координатами точки M O называют два числа:
1) полярный радиус r = OM 0 ,
2) полярный угол – угол, на который следует повернуть полярную
ось для совпадения ее направления с направлением вектора OM. Угол
положителен при повороте против хода часовой стрелки, в противном
случае – отрицателен. Значение угла называют главным, если
0 2 .

7.

Если на плоскости введена правая декартова Y
прямоугольная система координат и полярная ось y
совпадает с положительной полуосью абсцисс, то в
случае M O имеем (рис. 2.16):
O
x = r cos , y = r sin ,
r
M
x
X
Рисунок 2.16
r = x 2 + y 2 , tg = y x .
По этим формулам происходит переход от декартовых координат к
полярным координатам и обратно.
Пример. Точка A − 3;3 задана в прямоугольной системе
координат. Найти полярные координаты точки (0 r, − ) .
(
)
Полярный радиус равен
r = (− 3) + ( 3 ) = 3 2 .
Полярный угол должен соответствовать второй четверти, тангенс
y
3
полярного угла равен
tg = = −
= − 3.
x
3
2
Следовательно,
= − =
.
3
3
2
2

8.

§ 7. Поверхности второго порядка
Алгебраической поверхностью второго порядка называют поверхность S,
уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид
Ax 2 + By 2 + Cz 2 + 2 Dxy + 2 Exz + 2 Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0 ,
где не все коэффициенты A, B, C, D, E, F равны нулю (в противном случае
поверхность S есть поверхность первого порядка – плоскость).
Приведенное уравнение может определять вырожденную поверхность –
пустое множество, точку, плоскость, пару плоскостей.
Если поверхность невырожденная, то преобразованием декартовой
системы координат ее уравнение можно привести к одному из следующих
(канонических) видов:
1) сфера: x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ;
( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 )2 + ( z − z 0 ) 2 = R 2 ;
(x − x0 )2 ( y − y 0 )2 (z − z 0 )2
x2 y2 z2
2) эллипсоид: 2 + 2 + 2 = 1;
a
b
c
+
2
a
b
x2 y2 z 2
3) однополостный гиперболоид: 2 + 2 − 2 = 1 ;
a
b
c
2
+
(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 − (z − z0 )2 = 1 ;
a2
b2
c2
c
2
= 1;

9.

x2 y2 z 2
4) двуполостный гиперболоид: 2 + 2 − 2 = −1;
a
b
c
x2 y2 z 2
5) конус второго порядка: 2 + 2 − 2 = 0 ;
a
b
c
x2 y2
6) эллиптический параболоид: 2 + 2 = z ;
a
b
x2 y2
7) гиперболический параболоид: 2 − 2 = z ;
a
b
x2 y2
8) эллиптический цилиндр второго порядка: 2 + 2 = 1 ;
a
b
x2 y2
9) гиперболический цилиндр второго порядка: 2 − 2 = 1 ,
a
b
10) параболический цилиндр второго порядка: y 2 = 2 px .
Пример. Какие из точек A(1;−2;5) , B(1;2;5) , C (− 1;−2;5) , D(− 1;−2;6)
2
2
2
(
x + 1) ( y + 2 ) (z − 5)
+
−
= 1?
принадлежат поверхности
4
25
2

10.

В данном случае необходимо последовательно подставить
координаты всех точек в уравнение поверхности (однополостный
гиперболоид) и проверить, верное оно или нет.
2
2
2
(
(
(
1 + 1)
− 2 + 2)
5 − 5)
В случае точки A имеем:
+
−
= 1.
4
25
2
2
2
2
(
1 + 1) (2 + 2) (5 − 5)
16
В случае точки B имеем:
+
−
= 1 1.
4
25
2
25
2
2
2
(
− 1 + 1) (− 2 + 2) (5 − 5)
В случае точки C имеем:
+
−
= 0 1.
4
25
2
2
2
2
(
(
− 1 + 1)
− 2 + 2) (6 − 5)
1
В случае точки D имеем:
+
−
= 1.
4
25
2
2
Следовательно, только точка A принадлежит поверхности.