11 класс А

1. Методы решения логарифмических неравенств.

2. Cвойства логарифмов

• 1. loga1 = 0
• 2. logaa = 1
• 3. logaxy = logax + logay
• 4. loga (x/y) = logax – logay
• 5. logaxp = p . logax
• 6. logapb = 1/p . Logab
• 7. logab = logcb / logca
• 8. logab = 1/logba
• 9. logab . logcd = =logcb . logad

3. Определение: Неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими.

Например:
1) log 5x > -2;
2) ln(x3 – 1) < 5;
3) log(-x2 + x – 6) 25 > -2

4. Простейшие логарифмические неравенства.

Например: (по определению логарифма)
1) log 5x > -2; Условие х >0
так как 5>1, функция возрастающая, то знак неравенства
не меняется, то х > 5-2
Х> 1/25
Ответ: (1/25; +∞)
0
1/25

5. Простейшие логарифмические неравенства.

Например: (по определению логарифма)
1) log 0,2x > 2; Условие х >0
так как 0 <0,2<1, функция убывающая, то знак
неравенства меняется, то х < 0,22
Х < 0,04
Ответ: (0;0,04)
0
0,04

6. Методы решения логарифмических неравенств. 1. Свойство монотонности. 2. Метод потенцирования. 3. Применение простейших свойств

логарифмов.
3. Метод разложения на множители.
4. Метод замены переменной.
5. Логарифмирование
7. Метод рационализации

7. Решение логарифмических неравенств основано на свойстве монотонности функции y = logat : при a > 1 логарифмическая функция

Решение логарифмических неравенств основано на свойстве
монотонности
функции y = logat : при a > 1 логарифмическая функция
возрастает и при 0 < a < 1 убывает.

8.

ІІ. Метод потенцирования
Неравенство вида logaf(x) > logaφ(x)
или logaf (x) < logaφ(x).
Если a > 1, то функция y = logat
возрастает на R+ и неравенство
log a f (x) > log aφ(x)
равносильно системе
f(x) > 0
φ(x) > 0
– это условие
f(x) > φ(x) – это монотонность
lgx2 > lg(5x – 4)
f(x) > φ(x)
φ(x) > 0

9.

Неравенство вида logaf(x) > logaφ(x)
или logaf (x) < logaφ(x).
2) Если 0 < a < 1, то функция y = logat
убывает на R+ и неравенство
logaf(x) > logaφ(x)
равносильно системе
f(x) > 0
φ(x) > 0
– это условие
f(x) < φ(x) – это монотонность
log1/3(3x – 4) ≥ log1/3(x2 – 2)
φ(x) > f(x)
f(x) > 0

10. Схема решения простейших логарифмических неравенств

logа x > b
0<a<1
0 < x < ab
logа x < b
a>1
0<a<1
a>1
x > ab
x > ab
0 < x < ab

11. 1. Найти условие неравенства (подлогарифмическое выражение строго БОЛЬШЕ 0). 2. Преобразовать неравенство к виду І или І І и

решают полученное
неравенство, используя свойство
монотонности.
3. Найти пересечение множества
решений с ОДЗ неравенства и
записывают ответ.

12.

Метод замены переменной в
логарифмическом неравенстве.
Решение.
lg 2 x − 3 lg x + 3
1
lg x − 1
Пусть lgx = t, t – любое число, тогда
неравенство примет вид
t 2 − 4t + 4
0
t −1
(t − 2) 0
Нули числителя: 2(кратность четная)
Нули знам.:1(кратность нечетная)
+
2
t −1
t 2 − 3t + 3
−1 0
t −1
t 1
-
1
+
2

13.

Отсюда имеем
lg x < 1;
lg x < lg10
т. к.
a = 10 > 1, x >0, то
0 < x < 10
Ответ:
(0; 10)

14. Неравенство содержит переменную в основании логарифма

Решите неравенство:
log x (x −1) − log x +1 (x −1) 0.
Решение:
( x − 1)( x − 1 − 1)( x + 1 − 1)( x + 1 − x ) 0,
x 0, x 1,
x − 1 0,
x + 1 0, x + 1 1
1 x 2.
x( x − 1)( x − 2) 0,
x 1
Ответ:
(1;2).

15.

Специальные методы решения
логарифмических неравенств.

16.

• Коростина О.В.
• учитель математики ГБОУ СОШ №2 «ОЦ»
• с. Борское, 2024