Математика Интегралы
Неопределенный интеграл ( основные понятия)
Некоторые интегралы
Тест по неопределенному интегралу
Определенный интеграл (основные понятия)
Определение определенного интеграла
Основная теорема интегрального исчисления
Геометрический смысл определенного интеграла
Пример 4 контрольной работы
Тест по определенному интегралу
Ответы на тест по определенному интегралу
484.00K
Категория: МатематикаМатематика

Неопределенный интеграл (основные понятия)

1. Математика Интегралы

2. Неопределенный интеграл ( основные понятия)

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией
для функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка
верно равенство:
F′(x)=f (x)
Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть
бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое
постоянное число.
F1(x) = F(x) + C.
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется
множество первообразных функций, которые определены
соотношением:
F(x) + C.
Записывают:
f ( x ) dx F ( x ) C ;

3. Некоторые интегралы

x
dx
1) Степенная функция
=
x
x +C
2) Экспонента
=
e
e
dx
dx
x == ln |x| +C
x 1
C , 1
1
3)
Примеры
2
xdx
x dx х3 / 3 + C
1.
х2 / 2 + C
4.
2. 5dx 5 х С
dx
1
2
5. x 2 = x dx = х -1 / (-1)= - + C
x
• 3. (2 х 3)dx х2 -3х + C

4. Тест по неопределенному интегралу


1. Первообразная постоянной функции f (x)=2 равна
1) 0
2) 2
3) 2х
2. Для какой функции первообразная равна ln IxI
1) 1
2) 1/x
3) x
3.Неопределенный интеграл от f (x)=2x равен
1) 2
2) х2+С
3) x2
4. Неопределенный интеграл от f (x)=4-5х равен
1)
4-5х
2) -0,25(4-5х)
3) 4х-2,5х 2+С

5. Определенный интеграл (основные понятия)

6. Определение определенного интеграла

• Определение. Если существует конечный предел
интегральной суммы S при λ→ 0, то этот предел
называется определённым интегралом от функции
• f (x) по отрезку a;b .Его обозначают
b
a f ( x) dx
i
а-нижний, b-верхний пределы иитегрирования.
Определенный интеграл- это число.

7. Основная теорема интегрального исчисления

b
b
a f ( x) dx F ( x) a F (b) F (a)
Терема Ньютона-Лейбница
, где
F (x) - какая либо первоообразная для f(x).
Примеры:1)
2)
2
3
4
2
(
х
2
х
)
dx
(
х
/
4
x
) (16 / 4 4) (1/ 4 1) 6,75
1
2
1
3
(
2
х
1
)
dx
(
х
x
)
(
9
3
)
(
1
1
)
6
1
3
2
1
Последний интеграл может быть проверен
исходя из геометрического смысла.

8. Геометрический смысл определенного интеграла

• Геометрический смысл определённого интеграла кратко формулируется
так: определённый интеграл от неотрицательной функции f(x)≥0
численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной
сверху графиком функции y = f(x), снизу - осью абсцисс, слева – прямой
• x = a и справа - прямой x = b.
y
• ( площади подграфика функции
y=f(x)
• у =f( x) на отрезке [ a;b] ).
a
b
x
• Замечание. Если f (x)≤ 0, то для вычисления площади интеграл
берется со знаком “-”.
• .

9. Пример 4 контрольной работы

Пример. Вычислить интеграл и проверить результат,
исходя из его геометрического смысла.
3
3
2
1) ( 2 х 1) dx ( х x) (9 3) (1 1) 6
1
1
i
2)Построим фигуру, ограниченную сверху прямой у=2х-1, снизу осью
0х, с боков прямыми х=1 ,х=3. (См. рисунок).
Это трапеция с основаниями у(1)и у(3) и высотой, равной длине
отрезка [1, 3]. у(1)=1, у(3)=5 , откуда S=(1+5)/2·(3-1)=6
Ответы совпадают

10. Тест по определенному интегралу

• Интегралы равны:
3
1.
(2 x 1)dx
2.
3.
4.
1 2
(
2
x
)
dx
0
2
3x dx
2
2
1
(
3
х
2
x
)
dx
2
1
1. А.
5
В. 6
С.
7
2. А.
2
В. 3
С. 4
.
3. А.
5
В. 6
С. 7
.
4. А.
10
В. 12
С. 14

11. Ответы на тест по определенному интегралу


1. С
2.А
3.С
4.А
English     Русский Правила