Необходимый признак сходимости

1.

Если ряд сходится, то предел его общего
члена un при n равен нулю:
lim u n 0
n

2.

Выразим n-ый член ряда через сумму его n и
(n-1) членов:
un S n S n 1
Так как ряд сходится, то
lim S n S
n
lim S n 1 S
n
lim un lim ( S n S n 1 ) 0
n
n

3.

Если предел общего члена ряда un при
n
не равен нулю:
lim un 0
n
то ряд расходится.

4.

Исследовать сходимость ряда
4n 3
n 1 5n 7
4n 3 4
lim
0
n 5n 7
5
Ряд расходится.

5.

Данная теорема выражает
необходимый, но не достаточный
признак сходимости: если
lim u n 0
n
то из этого еще не следует, что
ряд сходится.

6.

Исследовать сходимость
гармонического ряда
1 1
1
1 ... ...
2 3
n

7.

1
lim 0
n n
Необходимый
признак
сходимости
выполняется. Покажем, что не смотря на это,
ряд будет расходится.
Запишем сумму первых 2n и n членов ряда:
S2n
1 1
1
1
1
1 ...
...
2 3
n n 1
2n

8.

S2n
1 1
1
S n 1 ...
2 3
n
1
1
1
Sn
...
n 1 n 2
2n
В этой сумме заменим каждое слагаемое
1
меньшим, равным
Получим неравенство:
2n
S2n
1
1
1
1
Sn
...
2n 2n
2n 2
n раз
S2n
1
Sn
2

9.

Если бы ряд сходился, то
lim S n lim S 2 n S
n
n
В нашем случае:
lim S n lim S 2 n S S 0
n
n
Получается
противоречие,
данный ряд расходится.
следовательно