Теоремы о пределах

1.

Пусть f(x) и φ(x) – функции, для которых
существуют пределы при
x x0
или
x
lim
f
(
x
)
A
x x
lim
(
x
)
B
x x
x
x
0
0
Тогда справедливы следующие теоремы:

2.

Функция не может иметь более
одного предела.

3.

Предположим обратное: что функция f(x) имеет два
предела: А и D, A D
lim
f
(
x
)
A
x x
lim
f
(
x
)
D
x x
x
x
0
0
Тогда функцию f(x) можно представить как сумму:
f ( x) ( x) A
или
f ( x) ( x) D
Где ( x), ( x) - бесконечно малые величины при
x x0 или
x

4.

Вычитаем почленно эти равенства:
0 A D ( x) ( x)
D A ( x) ( x)
A D, а разность
( x) ( x)
Но по условию теоремы
является
бесконечно
малой
величиной.
Следовательно, предположение о существовании
второго предела
неверно, и функция имеет
единственный предел.

5.

Предел алгебраической суммы
(разности) конечного числа функций
равен сумме (разности) пределов этих
функций:
lim
f
(
x
)
(
x
)
lim
f
(
x
)
lim
(
x
)
A
B
x x
x x
x x
0
0
0
x
x
x

6.

x x0
lim
( x) B
x x
x
x
По условию теоремы: lim f ( x) A
0
Тогда функции f(x) и φ(x) можно представить как
суммы:
( x) ( x) B
f ( x) ( x) A и
Где ( x), ( x) - бесконечно малые величины при
x x0 или
x
Складываем почленно эти равенства:

7.

f ( x) ( x) A B ( x) ( x)
Сумма бесконечно малых величин является
величиной бесконечно малой.
Таким образом, функция f(x) + φ(x) представляет
собой сумму числа А+В и бесконечно малой
величины, следовательно
lim
f
(
x
)
(
x
)
A
B
x x
0
x

8.

Предел произведения конечного
числа функций равен произведению
пределов этих функций:
lim
f
(
x
)
(
x
)
lim
f
(
x
)
lim
(
x
)
A
B
x x
x x
x x
0
0
0
x
x
x

9.

lim
C
f
(
x
)
C
lim
f
(
x
)
C
A
x x
x x
0
0
x
x

10.

Предел частного двух функций равен
частному пределов этих функций:
lim
f
(
x
)
x x
0
f ( x ) x
A
lim
x x
(
x
)
lim
(
x
)
B
x
x x
0
0
x

11.

Если
lim f (u ) A
u u0
и
lim ( x) u0
x x0
то предел сложной функции существует
и равен
lim f ( x) A
x x0

12.

Если в некоторой окрестности точки х0
(или при достаточно больших х)
f ( x) ( x) то
lim
f
(
x
)
lim
(
x
)
x x
x x
0
0
x
x

13.

В этих теоремах полагается, что существуют
пределы функций f(x) и φ(x), из чего следует
существование пределов суммы, произведения
или частного этих функций.
Однако из существования пределов суммы,
произведения или частного еще не следует,
что существуют пределы самих функций f(x) и
φ(x).

14.

lim tgx ctgx lim 1 1
x
Но:
x
2
lim tgx
x
2
2
- не существует