Геометрические характеристики сечений

1. Геометрические характеристики сечений

2. Составляющая N z, называемая продольной (нормальной) силой, вызывает деформацию растяжения или сжатия.

3.

• При деформации растяжения сжатия
площадь поперечного сечений полностью
характеризовала прочность и жесткость
детали.
N
A

4. Момент M z скручивающий тело называют крутящим Кручение

5. Моменты M x и M y изгибают тело и называются изгибающими. Изгиб.

6. Составляющие Q x и Q y называют поперечными силами. Поперечный изгиб.

7.

• Однако при деформации изгиба и
кручения прочность и жесткость
характеризуются не только размерами
сечения, но и его формой. К числу
геометрических характеристик сечения,
учитывающих оба указанных фактора,
относятся статические моменты,
моменты инерции, моменты,
сопротивления.

8. Статические моменты площадей

• Координаты zc и ус центра тяжести
плоской фигуры определяются, как
известно из общей механики
формулами.
• где F -площадь всей фигуры; dF элемент площади.

9.

10.

• Статический момент площади фигуры
относительно какой-либо оси равен
сумме статических моментов частей, из
которых состоит фигура, относительно
той же оси.
• Оси, проходящие через центр тяжести
фигуры, называют центральными
осями. Статические моменты площадей
относительно центральных осей равны
нулю, так как zc = 0 или ус = 0.

11.

• Различают осевые, полярные и
центробежные моменты инерции.
• Осевым моментом инерции сечения
называют взятую по всей площади
сечения сумму произведений
элементарных площадок на квадраты
их расстояний до соответствующей оси.
Обозначая моменты у инерции
относительно осей z и y соответственно
через J z и J y

12.

13.

• Полярным моментом инерции (моментом
инерции относительно полюса) называют
взятую по всей площади сечения сумму
произведений элементарных площадок на
квадраты их расстояний до данного полюса

14.

• Центробежным моментом инерции сечения
называют взятую по всей площади сечения
сумму произведений элементарных площадок на обе координаты в данной
прямоугольной системе осей. Обозначая
центробежный момент инерции через J zy
имеем

15.

• Из приведенных определений следует, что
момент инерции сложной фигуры равен
сумме моментов инерции ее частей.
• Полярный момент инерции относительно
полюса, являющегося началом
прямоугольной системы координат, равен
сумме моментов инерции относительно осей
данной системы

16.

• Момент инерции сечения относительно
какой-либо оси равен моменту инерции этого
сечения относительно центральной оси,
параллельной данной, сложенному с
произведением площади сечения на квадрат
расстояния между осями
J z1 J z F a
2

17.

• Центробежным моментом инерции
сечения называют взятую по всей
площади сечения сумму произведений
элементарных площадок на обе
координаты в данной прямоугольной
системе осей.
• Центробежный момент инерции J zy

18.

J z1 J z F a
2

19.

• Две взаимно перпендикулярные оси с началом в
данной точке, для которых центробежный момент
инерции плоской фигуры равен нулю, называют
главными осями инерции фигуры в этой точке.
• Глазные оси инерции в центре тяжести фигуры
называют главными центральными осями инерции.
• Если хотя бы одна из двух взаимно
перпендикулярных осей, проходящих через центр
тяжести сечения, является осью симметрии, то такие
оси являются главными центральными осями
инерции.

20.

• главные центральные оси инерции
фигуры могут быть найдены, если
известны ее центробежный J zy и
осевые Jz и Jy моменты инерции
относительно произвольно
расположенных центральных осей z и у.
Для этого систему осей zу необходимо
повернуть на угол α, определяемый из
соотношения.

21.

• Моменты инерции относительно главных
центральных осей инерции называют
главными моментами инерции: они обладают
тем свойством, что один из них имеет
максимальное, а другой минимальное
значение по сравнению с моментами инерции
относительно остальных центральных осей.

22.

• Определим величины моментов инерции
наиболее распространенных плоских
сечений, встречающихся при расчетах и
конструировании деталей механизмов.

23.

• Прямоугольник высотой h и шириной b.
Выделим в прямоугольнике элементарную
полоску высотой dy и шириной b. Полоска
отстоит от центральной оси г, параллельной
основанию на расстоянии у, gри этом у
изменяется в пределах
• от + h/ 2 до - h/2

24.

• Круговое кольцо с наружным диаметром D и
внутренним d.
• В данном случае полярный момент инерции
может быть получен как разность полярных
моментов инерции большого и малого круга

25.

• Обозначив d/D=C, после подстановки
в выражение‘ получим из соотношения
• находим осевые моменты инерции
круга и кругового кольца

26.

• Для круга с учетом соотношения

27. Для кольца

28.

29.

Дано
h1 = 45 мм
b1 = 66 мм
h2 = 36 мм
b2= 140 мм
Отверстие d = 40 мм
Площади фигур
А 1 = h1* b1=45*66=2970 мм2
А 2 = h2* b2=36*140=5040 мм2
А 3 = πd2/4=3.14* 402 / 4 = 1256 мм2

30.

• Статические моменты инерции
относительно выбранных осей
• Ось X
• S 1x= А 1 * y1 =2970*40.5=120285 мм3
• S 2x= А 2 * y2 =5040*0=0 мм3
• S 3x= А 3 * y3 =1256*40.5=50868 мм3

31.

Ось Y
S 1y= А 1 * x1 =2970*(-9)=26730 мм3
S 2y= А 2 * x2 =5040*0=0 мм3
S 3y= А 3 * x1 =1256*(-9)=11304 мм3

32. Построим главные оси системы:

33.

• Моменты инерции фигур относительно
собственных осей:
• Ось X

34.

• Jxc = Jx1 +A1 *(y1 -yc )2 -Jx2 - A2 *(y2 -yc )2+
Jx3 + A3 *(y3 -yc )2 =
• = 1078110+2670*(40.5-10.277)2 -125600
– 1256*(40.5 -10.277) 2 +8232000 +
• 5040*(0-10.277)2 = 11007151,55мм4

35.

• Ось Y

36.

• Jyc = Jy1 +A1 *(x1 -xc )2 –Jy2 - A2 *(x2 -xc )2+
Jy3 + A3 *(x3 -xc )2 =
• = 501187.5+2670*(9-4.1)2 -125600 –
1256*(9 -4.1) 2 +544320 +
• 5040*(0-4.1)2 = 1038580,04 мм4
• Центробежные момент инерции:
• Jxy1=A1 * (a1 -yc ) *(b1 -xc )=2670*(40.510.277)*(9-4.1)=395407,509 мм4

37.

• Jxy2=A2 * (a2 -yc ) *(b2 -xc )=1256*(40.510.277)*(9-4.1)=186004,4 мм4
• Jxy3=A3 * (a3 -yc ) *(b3 -xc )=5040*(010.277)*(0-4.1)=212363,93 мм4
• Jxy = Jxy1 + Jxy 3- Jxy2
=395407,509+212363,93186004,4=793775,839мм4

38.

• Определим угол поворота

39.

• α =4°31‘28''

40.

• Определим моменты инерции
относительно главных осей:

41.

42.

• Jmax = 11993195,12 мм4
• Jmin = 52536,466 мм4