Векторная алгебра

1. Векторная алгебра

§1. Определители 2 и 3 порядка
Пусть даны 4 числа: a11 , a12 , a21 , a22
(элементы определителя).
Определителем второго порядка называется число,
равное a11a22 a12 a21.
Обозначение:
a11 a12
det A | A |
a11a22 a12 a21
a21 a22

2.

Схема вычисления определителя второго порядка
(произведение элементов главной диагонали минус
произведение элементов побочной диагонали).
Пример. Вычислить
1 2
3 4
1 2
3 4
.
1 4 2 3 2.
Вычислительная математика

3.

.
Определителем третьего порядка называется
число, обозначаемое
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
и равное
a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32
(a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 ).
Вычислительная математика

4.

Схема вычисления определителя третьего порядка
(правило треугольника)
Вычисление определителя третьего порядка
методом разложения по первой строке:
a11
a12
a13
a21 a22
a23 a11
a31
a33
a32
a22
a23
a32
a33
a12
a21 a23
a31
Вычислительная математика
a33
a13
a21 a22
a31
a32

5.

Пример. Вычислить определитель двумя способами
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Вычислительная математика

6.

§2. Вектор. Линейные операции над векторами.
Вектор – множество направленных отрезков,
имеющих общее направление и одинаковую длину.
Направленный отрезок – отрезок, у которого
указаны начало и конец.
Обозначения: a AB.
Длина вектора (модуль вектора) – длина
соответствующего направленного отрезка,
обозначают AB a .
Вычислительная математика

7.

Вектор, длина которого равна 0, называется
нулевым, обозначают o (у такого вектора
совпадают начальная и конечная точки).
Вектор, длина которого равна 1, называется
единичным, обозначают e .
Единичный вектор, направление которого совпадает
с направлением вектора a , называется ортом
вектора a , обозначают
a
a0 .
a
Вычислительная математика

8.

Вектор BA называется противоположным вектору AB :
BA AB.
Два вектора называются коллинеарными, если они
лежат на одной прямой или на параллельных прямых,
обозначают a || b .
Если a || b , то b a , причем при 0 a b
(векторы сонаправлены), при 0 a b
(векторы противоположно направлены).
Вычислительная математика

9.

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют
одинаковую длину: a b a b , a b .
Три вектора в пространстве называются
компланарными, если они лежат в одной плоскости
или параллельных плоскостях.
Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или
два вектора коллинеарны, то такие векторы будут
компланарны.
Вычислительная математика

10.

Линейные операции над векторами:
- сложение векторов;
- вычитание векторов;
- умножение вектора на число.
Вычислительная математика

11.

§3. Базис. Координаты вектора в базисе
Базис на плоскости – это упорядоченная пара
неколлинеарных векторов
Если векторы ортогональны (перпендикулярны), то
базис называется ортогональным.
Если длины векторов равны единице, то базис
называется нормированным.
Ортонормированный базис на плоскости обозначают
11

12.

Пусть
- произвольный вектор на плоскости.
От произвольной точки О отложим векторы, равные
и OA a ; OB || e1; OC || e2 .
Следовательно существуют числа
Тогда
Говорят, что вектор
разложен по базису
Коэффициенты разложения
называют
координатами вектора
в базисе
12

13.

Разложение вектора по базису в пространстве
Базис в пространстве – это три некомпланарных
вектора
взятых в определенном порядке.
Тогда произвольный вектор
a = a1e1 + a2 e2 + a3e3 .
Длина вектора
| a | a12 a22 a32 .
13

14.

Значения cos a1 | a |; cos a2 | a |; cos a3 | a |
называются направляющими косинусами
2
2
2
cos
cos
cos
1.
вектора , причем
Направляющие косинусы совпадают с
координатами орта a0 a | a |.
14

15.

Свойства координат вектора:
1) при умножении вектора на число его координаты
умножаются на это же число;
2) при сложении (вычитании) векторов их
соответствующие координаты складываются
(вычитаются);
3) Два вектора коллинеарны тогда и только тогда,
когда их координаты пропорциональны.
15

16.

Координаты точки.
Их связь с координатами вектора
Рассмотрим точку А. Вектор OA называют радиусвектором rA точки А, а его координаты –
координатами точки А в базисе e1 , e2 , e3 или в системе
координат Oxyz, принято обозначение:
OA = {a1 , a2 , a3 }, A(a1 , a2 , a3 ).
Координаты вектора AB через можно найти по
координатам его начальной точки A(a1 , a2 , a3 ) и
конечной точки B(b1 , b2 , b3 ) :
AB = {b1 - a1 , b2 - a2 , b3 - a3}.
16

17.

§4. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов a и b
называется число, равное произведению длин этих
векторов на косинус угла между ними:
Если a = b , то
Произведение а а называют скалярным квадратом
вектора и обозначают
17

18.

Свойства скалярного произведения:
1) скалярное произведение ненулевых векторов равно
нулю тогда и только тогда, когда эти векторы
ортогональны;
2) скалярное произведение векторов коммутативно
а b b а.
3) свойство линейности:
lа mb c l а c m b c .
18

19.

Пример. Вычислить
если
19

20.

Вычисление скалярного произведения в
ортонормированном базисе
Рассмотрим ортонормированный базис ( i , j , k ).
Пусть a = a1i + a2 j + a3 k , b = b1i + b2 j + b3 k .
Тогда
а b а1b1 а2b2 а3b3 .
20

21.

а b а b 0.
а а а а 2.
а b
cos
.
аb
а b
прb а
.
b
21

22.

Пример 1. Найти длину вектора с = 3a - 4b , если
| a |= 2, | b |= 3, ( a·, b) = p 3.
Вычислительная математика

23.

Пример 2. Найти вектор с , коллинеарный вектору
a = {1,3,2}, если его проекция на вектор b = {2,1,0}
равна - 2 5.
Вычислительная математика

24.

§5. Векторное произведение векторов
Понятие правой и левой тройки векторов
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов
называется правой, если с конца третьего вектора
кратчайший поворот от первого вектора ко второму
виден против часовой стрелки.
В противном случае тройка векторов называется
левой.
На рис. тройка векторов a , b , c - правая,
b , a , c - левая тройка.
24

25.

Векторным произведением двух векторов a и b
называется такой вектор
, длина и
направление которого определяются следующими
условиями:
1. c ^ a , c ^ b ;
$, b );
|
c
|
=
|
a
||
b
|
sin
(
a
2.
3. a , b , c - правая тройка (если c № 0).
25

26.

Свойства векторного произведения:
1.
2.
(антикоммутативность);
3.
(условие коллинеарности двух векторов).
26

27.

Вычисление векторного произведения в
ортонормированном базисе
Пусть a = ax i + a y j + az k ; b = bx i + by j + bz k .
Тогда
i
j k
a b ax a y az .
bx by bz
27

28.

Пример. Вычислить a b , если a 2i j k , b i 2k .
28

29.

29

30.

Пример 1. Вычислить площадь параллелограмма
ABCD, если
e1 , e2 единичные векторы и
e1 , e2 4 .
30

31.

Пример 2. Найти вектор c, ортогональный векторам
a и b , если
и вектор
c образует тупой угол с осью Oz.
31

32.

§6. Смешанное произведение векторов
Пусть вектор a векторно умножается на вектор b ,
затем получившийся вектор скалярно умножается на
вектор c . В результате получается число, которое
называется векторно-скалярным или смешанным
произведением векторов a , b , c и обозначается a b c .
Таким образом, a b c (a b ) c .
32

33.

33

34.

34

35.

Тогда
35

36.

Пример. Вычислить смешанное произведение
векторов a = 2 i + j - 3k ; b = 3i - j ; c = i + 4k .
36

37.

Применения смешанного произведения
1. Проверка компланарности трех векторов:
a , b , c компланарны
2. Проверка принадлежности четырех точек A, B, C, D
одной плоскости α:
3. Вычисление объемов пирамиды и параллелепипеда,
построенных на векторах a , b , c , и их высоты hc ,
опущенной из конца вектора c :
37

38.

Пример. Проверить, что векторы
некомпланарны. Найти объем параллелепипеда,
построенного на этих векторах, приведенных к
общему началу, и высоту ha, опущенную из конца
вектора a .
38