Пределы функций. Понятие, основные определения, свойства, методы вычислений

1. Пределы функций

Понятие, основные
определения,
свойства, методы
вычислений

2. План

I Понятие предела функции
II Геометрический смысл предела
III Бесконечно малые и большие функции и их
свойства
IV Вычисления пределов:
1) Некоторые наиболее употребительные
пределы;
2) Пределы непрерывных функций;
3) Пределы сложных функций;
4) Неопределенности и методы их решений

3. Понятие предела функции

Определение:
Пределом
функции y= f(x)
называется
некоторое
число b при x→a.
И записывается
это так : lim f ( x) b
x a

4. Геометрический смысл предела

Определение: Для любого
ε>0 можно указать δ-
окрестность точки а на
оси Ох ,такую что для
всех х из этой
окрестности кроме х=а,
соответствующее
значение y лежат в εокрестности точки b
Математическая запись:
При
|x-a|<δ выполняется |f(x)-b|<ε
-δ<x-a< δ ↔ -ε<f(x)<ε
a-δ<x<a+δ ↔ b-ε<f(x)<b+ε
xЄ(a-δ;a+δ) ↔ f(x)Є(b-ε; b+ε)

5. Геометрический смысл предела (продолжение)

Если число b1 есть предел функции y= f(x)
при x→a, так что x<0, то число b1 называется
левым односторонним пределом точки а: lim f ( x) b1
x a 0
Если число b2 есть предел функции y= f(x) при
x→a, так что x>0 то число b2 называется
правым односторонним пределом точки а:
lim f ( x) b2
x a 0
Если b1=b2=b, то число b есть предел этой
функции при x→a: lim f ( x) b
x a

6. Бесконечно малые и большие функции и их свойства

Определение: Функция f(x) называется
бесконечно малой при x→a x если
предел этой функции
lim f ( x) 0
x a( x )
Определение: Функция f(x) называется
бесконечно большой при x→a x 0 если
предел этой функции
lim f ( x)
x a ( x 0 )

7. Свойства бесконечно малых и больших функции

Функция обратная по величине бесконечно
большой, есть бесконечно малая
lim x 0
x 0
1
lim
x 0 x
Функция обратная по величине бесконечно
малой, но отличная от 0, есть бесконечно
малая
lim x lim 1 0
x
x x

8. Основные теоремы о пределах

Теорема 1: Для того, чтобы число А было пределом функции f(x)
при x a , необходимо и достаточно, чтобы эта функция
была представлена в виде f ( x) A ( x) , где (x ) бесконечно малая.
Следствие 1: Функция не может в одной точке иметь 2 различных
предела.
Теорема 2: Предел постоянной величины равен самой постоянной
Теорема 3: Если функция f ( x) 0( f ( x) 0) для всех x в некоторой
окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a, и в
точке a имеет предел , то lim f ( x) 0 lim f ( x) 0
x a
x a

9. Основные теоремы о пределах (продолжение)

Теорема 4: Если функция f1(x) и f2(x) имеют пределы при x a,
то при x a, имеет пределы также их сумма f1(x)+f2(x),
произведение f1(x)*f2(x), и при условии lim f 2 ( x) 0 частное
f1(x)/f2(x), причем lim ( f1 ( x) f 2 ( x)) lim f1 ( x) lim f 2 ( x),
x a
x a
x a
lim ( f1 ( x) f 2 ( x)) lim f1 ( x) lim f 2 ( x),
x a
lim
x a
x a
x a
f1 ( x)
lim f1 ( x) / lim f 2 ( x).
x a
f 2 ( x) x a
Следствие 2: Если функция f(x) имеет предел при x a , то
lim ( f ( x)) n (lim f ( x)) n ,где n – натуральное число.
x a
x a
Следствие 3: Постоянный множитель можно выносить за знак
предела lim Cf ( x ) C lim f ( x ), C - const
x a
x a

10. Неопределенности и методы их решений Неопределенность вида

Неопределенности и методы их решений
0
Неопределенность вида
0
Методы:
1.
2.
3.
Разложение числителя и знаменателя
на множители с последующим
сокращением
Устранение иррациональных разностей.
Домножение на сопряженное.
Первый замечательный предел.
lim
0
sin
1

11. Неопределенности и методы их решений Неопределенность вида

Методы: Деление на наибольшую степень
Предел отношения двух многочленов (при условии,
что аргумент стремится к ∞) равен пределу
отношения их старших членов.
a0 x m a1 x m 1 ... am
a0 x m
lim
lim
n
n
1
x b x b x
x b x n
...
b
0
1
n
0
Здесь a 0 0 и b 0 0
0 (m n)
a0
(m n)
b0
(m n)

12. Примеры:

x 3x 2
lim
x 1
x 1
3
1 x 1 x
lim
x 0
1 x 1
sin 7 x
lim
x 0 sin 14 x
2
3n n 1
lim 4
n n 2n
3