Способи обчислення границь

1. “Способи обчислення границь”

2. Визначення: Нехай функція f(x) визначена в деякій околиці точки a, крім, може самої точки а. Число B називається границею

функції
f(x)в точці a, якщо для любої
послідовності значення аргументу
xn≠а, nЄN, яка збігається до а,
послідовності відповідних значень
функції f(x), nЄN, збігається до
числа B.

3.

Відомі границі
1 e
1) lim (1 ) e
n
n
1 x
2) lim (1 ) e
x
x
e
x
3) lim (1 x ) 0
x 0
4) lim 1 e
x 0
1
5) lim
1
x 0 sin x
x
6) lim
1
x 0 sin x

4. Перетворення функції

Приклад
4х5 7х 2
№1: lim
x 2 5 х 2 9 х 2
для обчислення даної границі необхідно
розкласти на множники чисельник та
знаменник дробу за формулою розкладання
квадратного трьохчлену на множники
ах 2 вх с а( х х1 )( х х2 ) де
-- корені трьохчлена
х1 та х 2

5.

Маємо
:
4 х 7 х 2 0,
2
Д=81,
1
4 х 7 х 2 4( х 2)( х )
4
1
х1 2, х 2
4
2
1
5 х 9 х 2 0 Д=121, х1 2, х 2 5
1
2
5 х 9 х 2 5( х 2)( х )
5
2
Повернемось до обчислення границі:
1
4
(
x
2
)(
x
)
4x 2 7x 2
4 Скорочуємо дріб на множник (хlim 2
lim
x 2 5 x 9 x 2
x 2
2) та маємо:
1
5( x 2)( x )
5
1
4 x lim 1 8 1
4 x 1 lim
9
4)
x 2
x 2
lim
lim
x 2
x 2 5 x 1
1
lim 5 x lim 1 10 1 11
5( x )
x 2
x 2
5
4( x

6. Позбавлення від ірраціональності Приклад №2:

x 3 3
x 2 36
lim
x 6
Так як
lim ( x 2 36) 0, lim ( x 3 3) 0
x 6
x 6
Розкладемо знаменник на множники за формулою
a 2 b 2 (a b)( a b)
Так як чисельник на множник розкласти не можна, то домножемо
на вираз ( х 3 3);
Щоб дана дріб не змінилася – знаменник теж домножемо на
той же самий вираз. Тоді ми маємо:
lim
x 6
lim
x 6
lim
x 6
x 3 3
( x 3 3)( x 3 3)
lim
2
x 6 (
x 36
x 3 3)( x 6)( x 6)
(
(
lim (
x 6
( x 3)2 3
lim
x 6 (
x 3 3)( x 6)( x 6)
x 3
x 6
lim
x 6 (
x 3 3)( x 6)( x 6)
x 3
lim 1
1
1
x 6
6 12
72
x 3 3) lim ( x 6)
x 6
x 3 9
3)( x 6)( x 6)
1
3)( x 6)

7.

Границя функції на нескінченності
Приклад №3:
x 4 x 2 5x 1
lim 3
x x 2 x 4 2 x
Винесемо у чисельнику та знаменнику х у
найбільшому степеню, та скоротимо дріб,
Та будемо пам'ятати, що
a
lim
x
x
n
0
1
5
1
x (1 2 3 4 )
x 4 x 2 5x 1
x
x
x
lim
lim
3
4
x x 2 x 2 x
x
1
2
x4 ( 2 3 )
x
x
1
5
1
1
1
1 2 3 4
lim 1 lim 2 lim 4
x x
x x
x
x
x x
lim
x
1
2
1
2
( 2 3)
lim lim 2 lim 3
x
x x
x
x
x x
1 0 0 0
1
0 2 0
2
4

8.

Приклад №4:
sin 6 x 6 sin 8 x
x 0
x
lim
sin 6 x
sin 8 x
lim
lim
6 8 14
x 0
x 0
x
x

9. Обчислити границі:

10. Обчислити границі: