Марковские модели процессов функционирования систем связи и управления. (Практическое занятие 2)

1.

Тема 4. Математические модели систем связи
и управления
Практическое занятие 2. Марковские модели
процессов функционирования систем связи и
управления
Учебные вопросы:
1. Моделирование процессов
функционирования систем связи цепями
Маркова.
2. Управляемые цепи Маркова с доходами.

2.

1. Моделирование процессов функционирования систем связи цепями Маркова
Задача 1. Сформировать матрицу одношаговых переходных вероятностей для
наблюдаемой двоичной последовательности на выходе помехоустойчивого кодера
01100111010100110100
10110010011000111101
Задача 2. Определить финальные вероятности состояний цепи Маркова
4
S0
3
1
S2
1
2
S1
2
3
S0
S2
4
S1

3.

Задача 3. Пусть с периодичностью один час проводится анализ состояния направления
связи, находящегося под воздействием узкополосной помехи. В случае нахождения его
в неподавленном состоянии (вероятность ошибки приема символа ниже допустимой)
методы помехозащиты не используются. При этом вероятность остаться в
неподавленном (первом) состоянии на следующем шаге равна 0,8, а вероятность
перейти в подавленное состояние – 0,2.
Вариант 1. Если направление оказалось
подавленным помехой (второе состояние)
на k-м шаге, то предусматривается
перестройка передатчика на резервную
частоту, обеспечивающий переход в первое
состояние с вероятностью 0,9.
Вариант 2. Если направление оказалось
подавленным помехой (второе состояние)
на k-м шаге, то предусматривается
использование модемного компенсатора
помех, обеспечивающий переход в первое
состояние с вероятностью 0,6.
P(0) 1 0 T
0,8 0,2
0,9
0,1
p01
p00
S1
S0
p11
p10
P(0) 1 0 T
Определить:
1. Значения вектора вероятностей состояний процесса на 1, 2, 3 шаг.
2. Вектор финальных вероятностей состояний процесса.
P(k ) ? k 1, 2, 3.
Pij (1/ 0)
P ( ) ?
Pij (1 / 0)
0,8 0,2
0,6 0,4

4.

Марковская модель процесса обслуживания
статусных сообщений РЭС в канале сетевого доступа S-ALOHA
Исходные данные для моделирования:
количество абонентов N 100
интенсивность поступления статусных сообщений s 3 сообщ/час
скорость передачи в канале доступа Rch 1,2 кбит/с
объем статусного сообщения Qs 500 бит
вероятность передачи имитационного вызова им 0,2
S
0,5
S
0,45
3 выз/ч
Q 500 бит
Rдост 1,2 кбит/с
им 2000 выз/ч
3 0,02
0,4
0,01
0,35
N 100
0,45
0,2
0,4
0,5
0,35
0,3
0,3
0,25
0,6
0,2
0,25
2 0,06
0,2
0,15
0,15
0,1
0,7
0,05
0
1 0,2
0,1
0,05
0
50
100
150
200
250
300
350
400
t, c
Производительность канала доступа в случае
стационарных параметров потока сообщений
Уровень суммарного трафика в канале
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
n
Производительность канала доступа при
различных стратегиях повторной передачи
вызовов
Вероятность передачи очередного (нового) сообщения
G ( N n) n им
Коэффициент использования (производительность) канала
sTs s
Qs
Rch
S (1 )n ( N n) (1 ) N n 1(1 им ) n (1 )n 1(1 ) N n (1 им ) им (1 )n (1 ) N n .

5.

Диаграмма состояний и переходов в канале доступа
р0 N
р0 j
р1N
р1 j
р0i
р01
р00
0
1
р10
р11
pi (k 1) j (k )
рiN
рij
р1i
......
рi1
N i
i
......
р ji
рii
р NN
р jN
j
......
N
р Nj
р jj
p Am1 p Bm2 p Cm3
i
n(k 1)
1
m1 0 m2 0 m3 0
p34 p A1 p B0 p C1 p A1 p B1 p C 0 p A1 p B1 p C1
p A1 p B2 p C 0 p A1 p B2 p C1 p A1 p B3 p C 0
p A1 p B3 p C1 p A1 p B0 p C1
p A1 p Bm2
j
m 2 1
n(k )
p Am1 p Bm2 p C m3
2
p A0 p B1 p C0
3
p A0 p B0 p C0
3
p A0 p B0 p C1
3
p A0 p B1 p C1
3
p A0 p B2 p C1
3
p A0 p B3 p C1
3
p A1 p B0 p C0
4
p A1 p B0 p C1
4
p A1 p B1 p C0
4
p A1 p B1 p C1
4
p A1 p B2 p C0
4
p A1 p B2 p C1
4
p A1 p B3 p C0
4
p A1 p B3 p C1
5
p A2 p B0 p C0
5
p A2 p B0 p C1
5
p A2 p B1 p C0
5
p A2 p B1 p C1
5
p A2 p B2 p C0
5
p A2 p B2 p C1
5
p A2 p B3 p C0
5
p A3 p B3 p C1
3

6.

m
m
m
p Am1 С N1 m1 (1 ) N m1
p Bm2 С N 2 m2 (1 ) N m2
m3
p Сm3 С1 3 им
(1 им ) N m3
m1 0, 1, ..., N n
m2 0,1,...N
m3 0, 1
Переходные вероятности состояний в канале доступа
1. При j i 0 и j 0
pij 1 N N 1 N 1 1 им .
2. При j i 0 и 1 i N 2
N i
pij 1
i
Cim m 1 i m N i 1 N i 1 1 i
m 0
m 1
1 им 1 N i i 1 i 1 им .

7.

3. При j i 0 и i N 1
7. При j i 1 и i N 1
pij 1
i
Cim m 1 i m 1 i 1 им
i m m
pij Ci 1 i m 1 i им .
m 1
m 0
m 1
1 i 1 i 1 им .
8. При j i 1 и 1 i N 1
4. При j i 0 и i N
pij
pij 1 N i i 1 i 1 1 им .
i
Cim m 1 i m i 1 i 1 им .
9. При j i 1 и i N
m 0
m 1
pij N 1 N 1 1 им .
5. При j i 1 и i 0
10. При j i 2 и 2 j N 1
pij N 1 N 1 им .
pij C Nj ii j i 1 N j .
6. При j i 1 и 1 i N 2
pij N i 1
N i 1
11. При j i 2 и j N
i
m 1
Cim m 1 i m 1 i им .
pij j i .

8.

n(t )
Уравнение Маркова
T
Р(k ) Рij (1/ 0) Р(k 1)
50
45
N 50
им 0,2
40
G0 0,55
0,2
35
30
0,01
25
Средняя задолженность канала
n( k )
20
opt
15
N
10
n pn (k )
5
n 0
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
t, c
Среднее время передачи статусного сообщения
обр ( L 1)
Tдост р обр М повт 2 р обр
2
S
1
Tдост , с
0,5
100
N 100
0,45
3 выз/ч
Q 500 бит
Rдост 1,2 кбит/с
им 2000 выз/ч
3 0,02
0,4
0,35
80
60
50
2 0,06
0,15
2 0,06
40
3 0,02
30
1 0,2
0,1
Rдост 1,2 кбит/с
p 0,27 с
1 0,2
70
0,25
0,2
Q 500 бит
90
0,3
20
10
0,05
0
L
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
n
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
n

9.

Список рекомендуемой литературы:
1. Стратонович Р. Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального
управления. Изд. МГУ. 1965 г. - 319 с.
2. Карманов А. В. Исследование управляемых конечных Марковских цепей с неполной
информацией (минимаксный подход). М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 176 с.
3. Майн Х., Осаки С. Марковские процессы принятия решений. М.: Наука, 1977. - 176 с.
4. Скороход А. В. I. Вероятность. Основные понятия. Структура. Методы. II. Марковские процессы
и вероятностные приложения в анализе. III. Вероятность. Прикладные аспекты. 279 с.
5. Дынкин Е. Б., Юшкевич А. А. Управляемые марковские процессы и их приложения. М.: Наука,
1975. – 338 с., ил.
6. Дынкин Е. Б. Марковские процессы, М.: Физматлит, 1963 г. – 860 с.
7. Шелухин О. И., Тенякшев А. М., Осин А. В. Моделирование информационных систем. Под ред.
О. И. Шелухина. Учебное пособие. – М.: Радиотехника, 2005. – 368 с., ил.