Точки разрыва функции и их классификация

1.

ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
Точки , в которыхнарушается непрерывность
функции,называются точками разрыва функции.
Если х=х0-точка разрыва функции у=f(х),то вней не
выполняется по крайней мере одно из условий первого
определения непрерывности , а именно:
1.Функция определена в окрестности точки х0, но не
определена в самой точке х0
Например,функция у 1 не определена в точке х0=2
х 2

2.

2.Функция определена в точке х0 и ее окрестности, но не
существует предела f(х) при x x0 .
х
1
,е
с
л
и
1
х2
,
Например, функция :
f(х)=
2
х
,е
с
л
и
2
х5
,
Определена в точке х0=2 (f(2)=0), Однако в точке х0=2 имеет
разрыв (см.рисунок) т.к. эта функция не имеет предела при x 2
:
l
i
m
f
(
x
)1
,
l
i
m
f
(
x
)0
.
x
2
0
x
2
0

3.

f (x) ,но
3.Функция определена в точке х0 и ее окрестности, существует xlim
x0
l
i
m
f()
x
f(
x
)
этот предел не равен значению функции в точке х0 : x
0
x
0
inx
s
Например, функция g
()
x
с
л
их
0
x ,е
2
,е
с
л
и
х
0
s
i
n
x
x
0 x
Здесь х0=0 – точка разрыва: l
i
m
g
(
x
)
l
i
m
1
,а g(х0)=g(0)=2 (см.рис.)
x
0

4.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго
рода. Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода функции
y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и
справа (односторонние пределы),т.е l
i
m
f
(
x
)
A
и
l
i
m
f
(
x
)
A
1
2
x
x
0
x
x
0
0
0
При этом: а) если А1=А2,
то точка х0 называется точкой устранимого разрыва
б)если A1 A2
то точка х0 называется точкой конечного разрыва
Величину A1 A2 называют скачком функции в точке разрыва первого
рода.
Точка разрыва х0называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x),если
по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа ) не
существует или равен бесконечности.
1.Обратимся к функцииy
1
, х0=2 – точка разрыва второго рода.
x 2

5.

х
1
,е
с
л
и
1
х2
,
2.Для функции f(x)=
2
х
,е
с
л
и
2
х5
,
Х0=2 – точка разрыва первого рода , скачок функции равен
3. Для функции
1 0 1.
s
inx
,x 0
gx
( ) x
2 ,x 0
Х0=0 является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив g(x)=1
(вместо g(x)=2) при х=0, разрыв устраниться,функция станет непрерывной.
x 3
Пример: Дана функция f(x)
x 3
Найти точки разрыва,выяснить их тип.
Решение: Функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой оси,кроме
точки х=3.

6.

1 ,x 3
Очевидно ,f(x)=
Следовательно,l
i
m
f
(
x
)
1
,l
а
i
m
f
(
x
)
1
.
x
3
0
x
3
0
1
,
x
3
Поэтому в точке х=3 функция имеет разрыв первого рода.Скачок функции в этой
точке равен 1-(-1)=2.