Основы динамики вращательного движения

1.

2.

.
1. Момент импульса. Момент силы. Уравнение вращательного
движения системы
Момент импульса материальной точки относительно точки
L r , p
L r p sin
Моментом силы материальной точки относительно точки
M r, F
M r F sin

3.

.
Момент силы относительно оси Mz – алгебраическая
величина
N
.
.
d
r
F
Mz F d
N'
ОZ
Прямая NN – линия действия силы
Расстояние от линии действия силы до оси OZ –
плечо силы d
Если ось OZ совпадает с направлением M , то M M z

4.

L r , p
d
dt
dL dr dp
, p r , .
dt dt dt
0
dL
M
dt
- уравнение
dp
F
dt
вращательного движения
материальной точки

5.

Моментом импульса механической системы относительно точки
L Li
i
L Li
d
dt
dL
Mi
dt
i
i
( в н) ( в неш)
Mi M M
i
0
(внеш)
dL
M
dt
- уравнение вращательного движения
механической системы
5

6.

2. Вращательное движение твердого тела с закрепленной осью
I z mi R I zi
2
i
i
i
- момент инерции тела
относительно оси
Момент инерции твердого тела аддитивная величина (равна
сумме моментов инерции материальных точек, составляющих
это тело) и не зависит от времени.
С учетом вновь введенной величины I выражение
для момента импульса имеет вид
Тогда в проекциях на OZ следует
I z M z
- уравнение
L I
dLz
d
Iz
Mz
dt
dt
вращательного движения
твердого тела с закрепленной осью

7.

3. Теорема Штейнера
Пусть для тела массы m
известен момент инерции
Io
относительно оси ОО1, проходящей через центр масс тела. Тогда
момент инерции
этого тела I относительно оси О О1 ,
параллельной ОО1, определяется по правилу
2
I I 0 md
d d
-расстояние
между осями
Пример: найдем момент инерции стержня относительно оси, проходящей через
один из его концов
2
mL
I0
12
L
L
I m m
12
2
2
L
d
2
2
mL
I
3
2

8.

Значения моментов инерции для тел простых симметрий
Тело
Полый тонкостенный
цилиндр радиусом R
Сплошной цилиндр
или диск радиусом R
Прямой тонкий
стержень длиной l
Положение оси вращения
Ось проходит через
центр масс
Ось проходит через
центр масс
Момент
инерции
I mR2
I 1 mR2
2
Ось перпендикулярна
стержню и проходит
через его середину
I 1 ml 2
12
Прямой тонкий
стержень длиной l
Ось перпендикулярна
стержню и проходит
через его конец
I 1 ml 2
3
Шар радиусом R
Ось проходит через
центр шара
I 2 mR2
5

9.

4. Закон сохранения момента импульса
(внеш)
dL
M
dt
( в неш)
M
0 L const :
-если сумма моментов внешних сил, действующих на систему,
равна нулю, то момент импульса системы сохраняется.
Закон сохранения момента импульса относительно оси
dLz
Mz
dt
M
( внеш)
z
0 Lz const :
- если сумма моментов действующих на систему внешних
сил относительно некоторой оси равна нулю, то момент
импульса системы относительно этой оси сохраняется.

10.

5. Кинетическая энергия вращающегося тела
mi i2
Ек
2
i
i , Ri
I
Ек
2
2
Е к Ек(пост) Ек(вращ)
Ек(пост)
m c2
2
2
2
2
, Ri Ri
2
i
Ек(вр)
I 2
2

11.

6. Работа при вращательном движении
А Fdr
dr d , R
А d R, F M d
A M z d
2
A M z ( )d
1

12.

7. Таблица соответствия для величин, характеризующих
поступательное и вращательное движения
ПД dr
a
ВД d
x x ax m
dp
F
dt
z z
I
p
F
p x Fx
L
M
Lz M z
dL
M
dt