Физические основы защиты информации от утечки по каналам побочных электромагнитных излучений и наводок

1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ ОТ УТЕЧКИ ПО КАНАЛАМ ПОБОЧНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ИЗЛУЧЕНИЙ И НАВОДОК (ФО ПЭМИН)

2. Литература

1. Пименов Ю.В., Вольман В.И., Муравцов А.Д. Техническая
электродинамика. Под ред. Пименова Ю.В. М.: Радио и связь, 2000.
2. Бузова М.А., Юдин В.В. Проектирование проволочных
антенн на основе интегральных уравнений: Учебное пособие для
ВУЗов. – М.: Радио и связь, 2005.
3. Кочержевский Г. Н. Антенно-фидерные устройства. М.:
Связь. 1972.
4. Бузов Г.А., Калинин С.В., Кондратьев А.В. Защита от утечки
информации по техническим каналам. Учебное пособие. – М.:
Горячая линия - Телеком, 2005.
5. Хореев А.А. Защита информации от утечки по техническим
каналам. Часть 1. Технические каналы утечки информации. – М.:
ГТК РФ, 1998.
ФО ПЭМИН
2

3. Основные характеристики поля и среды

Основные характеристики поля
Для единичного заряда в э/м поле:
– сила, действующая на заряд, Н;
– скорость движения заряда, м/с;
– напряженность электрического поля, В/м;
– индукция магнитного поля, Вб/м2.
ФО ПЭМИН
3

4. Основные характеристики поля и среды

Основные характеристики сред
1. Движение свободных зарядов:
– плотность тока, А/м2;
– удельная проводимость, См/м
2. Смещение зарядов, связанных молекулярной структурой
(поляризация):
– индукция электрического поля, К/м2;
– абсолютная диэлектрическая проницаемость, Ф/м.
3. Изменение ориентации магнитных диполей:
– напряженность магнитного поля, А/м;
– абсолютная магнитная проницаемость, Гн/м.
ФО ПЭМИН
4

5. Основные характеристики поля и среды

– напряженность электрического поля, В/м
– индукция электрического поля, К/м2
– индукция магнитного поля, Вб/м2
– удельная проводимость, См/м
– абсолютная диэлектрическая проницаемость, Ф/м
– относительная диэлектрическая проницаемость
– электрическая постоянная, Ф/м
– абсолютная магнитная проницаемость, Гн/м.
– относительная магнитная проницаемость
– магнитная постоянная, Гн/м
ФО ПЭМИН
5

6. Классификация сред

- макроскопические параметры среды
Материальные уравнения:
ФО ПЭМИН
6

7. Классификация сред

•Изотропная среда:
;
Анизотропная среда:
;
- тензор диэлектрической
проницаемости,
- тензор магнитной проницаемости
;
ФО ПЭМИН
7

8. Классификация сред

•Диамагнетик:
Парамагнетик:
Ферромагнетик:
Проводник:
Полупроводник:
Диэлектрик:
ФО ПЭМИН
8

9. Полная система уравнений электродинамики

Уравнения Максвелла (Джеймс Клерк
Максвелл, 1873 г.)
Закон Ампера:
ФО ПЭМИН
9

10. Полная система уравнений электродинамики

•Ток смещения:
Применяем теорему Стокса:
Первое уравнение Максвелла:
ФО ПЭМИН
10

11. Полная система уравнений электродинамики

ЭДС:
Применяем теорему Стокса:
Второе уравнение Максвелла:
ФО ПЭМИН
11

12. Полная система уравнений электродинамики

Теорема Гаусса:
Применяем теорему Остроградского - Гаусса:
Третье уравнение Максвелла:
Силовые линии начинаются и заканчиваются на зарядах.
ФО ПЭМИН
12

13. Полная система уравнений электродинамики

Закон Гаусса для
магнитного поля:
Применяем теорему Остроградского - Гаусса:
Четвертое уравнение Максвелла:
Cиловые линии замкнуты. Источников и стоков, т.е. магнитных
зарядов в природе нет.
ФО ПЭМИН
13

14. Полная система уравнений электродинамики

Закон сохранения заряда
;
Закон непрерывности линий полного тока
ФО ПЭМИН
14

15. Полная система уравнений электродинамики

Закон Ома в дифференциальной форме
ФО ПЭМИН
15

16. Полная система уравнений электродинамики

Интегральная форма уравнений Максвелла:
1-е
2-е
3-е
4-е
ФО ПЭМИН
16

17. Полная система уравнений электродинамики

Дифференциальная форма уравнений Максвелла:
1-е
2-е
3-е
4-е
Закон сохранения заряда:
Уравнение непрерывности:
Закон Ома:
Материальные уравнения:
При наличии сторонних
токов и зарядов:
,
ФО ПЭМИН
17

18. Классификация электромагнитных явлений

1. Статическое поле:
Электрическое и магнитное поля независимы
Система уравнений
электростатики:
Система уравнений
магнитостатики:
0
ФО ПЭМИН
18

19. Классификация электромагнитных явлений

2. Стационарное поле:
,
3. Квазистационарное поле:
4. Быстропеременное поле:
,
ФО ПЭМИН
19

20. Граничные условия

- нормальная составляющая
- тангенциальная составляющая
ФО ПЭМИН
20

21.

Граничные условия
Нормальные составляющие магнитного поля
- непрерывна
- разрыв
ФО ПЭМИН
21

22. Граничные условия

Нормальные составляющие электрического поля
При
- непрерывна
ФО ПЭМИН
22

23. Граничные условия

Тангенциальные составляющие электрического поля
=
- непрерывна
ФО ПЭМИН
23

24. Граничные условия

Тангенциальные составляющие магнитного поля
При наличии поверхностных токов:
=
ФО ПЭМИН
24

25. Граничные условия

Полная система граничных условий:
Для идеально проводящей поверхности:
0
0
ФО ПЭМИН
25

26. Монохроматическое поле

Метод комплексных амплитуд
- комплексная амплитуда
Аналогично для векторов:
- компл. ампл.
ФО ПЭМИН
26

27. Монохроматическое поле

Система уравнений монохроматического поля
- комплексная диэлектрическая
проницаемость
Аналогично:
ФО ПЭМИН
27

28. Монохроматическое поле

аналогично:
С учетом сторонних токов и зарядов:
Физический смысл комплексной диэл. проницаемости
- интенсивность поляризации
- интенсивность токов
проводимости
- тангенс угла диэл.
потерь
ФО ПЭМИН
εа
Re
δ
- σ/ω
- Im
28

29. Энергетические соотношения в ЭМП

Баланс энергии ЭМП
ФО ПЭМИН
29

30. Энергетические соотношения в ЭМП

- вектор Пойнтинга (вектор ППЭ)
Теорема Умова-Пойнтинга
ФО ПЭМИН
30

31. Энергетические соотношения в ЭМП

Теорема Умова-Пойнтинга в комплексной форме
Среднее за период:
ФО ПЭМИН
31

32. Энергетические соотношения в ЭМП

,
,
ФО ПЭМИН
32

33. Энергетические соотношения в ЭМП

ФО ПЭМИН
33

34. Волновые уравнения

Прямая задача:
Заданы
Определяют
Обратная задача:
Определяют
Заданы
Для мгновенных значений векторов поля:
+
- оператор Лапласа
ФО ПЭМИН
34

35. Волновые уравнения

Аналогично:
ФО ПЭМИН
35

36. Волновые уравнения

Если
:
- уравнения Даламбера
- волновой процесс
ФО ПЭМИН
36

37. Волновые уравнения

Для монохроматического поля:
Если
:
- уравнения Гельмгольца
ФО ПЭМИН
37

38. Электродинамические потенциалы

Потенциалы…
не изменится, т.к.
выражены через
ФО ПЭМИН
38

39. Электродинамические потенциалы

Калибровка:
=0
Запаздывающие
потенциалы
ФО ПЭМИН
39

40.

Электродинамические потенциалы
Для монохроматического поля
Объемный сторонний ток
Поверхностный сторонний ток
Линейный сторонний ток
ФО ПЭМИН
40

41. Теорема единственности

Внутренние
задачи: поле определяется внутри объема V,
ограниченного поверхностью S.
Внешние задачи: сторонние токи и заряды локализованы в V.
Поле определяется вне этой области.
Внутренняя задача ЭД имеет единственное решение, если
выполняется одно из следующих условий:
- в
- в
- на одной части
- в
Для внешней задачи еще и «ГУ на бесконечности»: при
убывают быстрее, чем
ФО ПЭМИН
41

42. Излучение ЭМ волн

Элементарный электрический вибратор
z
ЭЭВ:
θ
r
y
l
φ
x
ФО ПЭМИН
42

43. Излучение ЭМ волн

Окончательно:
Определяем векторы поля
ФО ПЭМИН
43

44. Излучение ЭМ волн

+
ФО ПЭМИН
44

45. Излучение ЭМ волн

Дальняя зона:
Ближняя зона:
Промежуточная:
ФО ПЭМИН
45

46. Излучение ЭМ волн

Дальняя зона
Взаимно ортогональны. Синфазны.
Фазовая скорость:
(сфер.волна, распр. со скор. света)
Перенос энергии:
: max, не зависит от
В направлениях
Волновое сопротивление среды:
В вакууме:
ФО ПЭМИН
46

47. Излучение ЭМ волн

Ближняя зона
ФО ПЭМИН
47

48. Излучение ЭМ волн

- как эл. поле заряда
- как магн. поле тока
ФО ПЭМИН
48

49. Излучение ЭМ волн

Диаграммы направленности (дальняя зона)
орт амплитуда ХН фаза
θ=0
θ
|E|
F(θ)
θ=90º
θ
0
90º
180º
270º
360º
ФО ПЭМИН
49

50. Излучение ЭМ волн

Мощность излучения
ФО ПЭМИН
50

51. Излучение ЭМ волн

В вакууме:
ФО ПЭМИН
51

52. Излучение ЭМ волн

Принцип перестановочной двойственности
ФО ПЭМИН
52

53. Излучение ЭМ волн

ФО ПЭМИН
53

54. Излучение ЭМ волн

Элементарный магнитный вибратор
ФО ПЭМИН
54

55. Излучение ЭМ волн

Элементарная рамка
Элементарный щелевой вибратор
ФО ПЭМИН
55

56. Излучение ЭМ волн

Эквивалентные источники ЭМП
Произвольная замкнутая поверхность S.
Внутри локализованы источники
На поверхности:
Заменяем действие реальных источников на действие
эквивалентных (фиктивных):
ФО ПЭМИН
56

57. Излучение ЭМ волн

Принцип Гюйгенса
Элемент Гюйгенса
ФО ПЭМИН
57

58. Излучение ЭМ волн

ФО ПЭМИН
58

59. Плоские ЭМВ

Среда без потерь:
- сферическая волна
локально плоская волна
ФО ПЭМИН
59

60. Плоские ЭМВ

ФО ПЭМИН
60

61. Плоские ЭМВ

Среда c потерями:
ФО ПЭМИН
61

62. Плоские ЭМВ

Характеристики зависят от f – дисперсия
ФО ПЭМИН
62

63. Плоские ЭМВ

Диэлектрик:
ФО ПЭМИН
63

64. Плоские ЭМВ

Проводник:
ФО ПЭМИН
64

65. Плоские ЭМВ

ФО ПЭМИН
65

66. Плоские ЭМВ

Поляризация волн
ФО ПЭМИН
66

67. Плоские ЭМВ

- эллиптическая поляризация
ФО ПЭМИН
67

68. Волновые явления на границе раздела двух сред

y0z – граница раздела
x0z – плоскость падения
Параллельная поляризация Нормальная поляризация
ФО ПЭМИН
68

69. Волновые явления на границе раздела двух сред

Законы Снеллиуса
ФО ПЭМИН
69

70. Волновые явления на границе раздела двух сред

Падение плоской волны на границу раздела диэлектриков
Нормальная поляризация
ФО ПЭМИН
70

71. Волновые явления на границе раздела двух сред

Коэффициенты Френеля
коэффициент отражения:
коэффициент прохождения
ФО ПЭМИН
71

72. Волновые явления на границе раздела двух сред

Параллельная поляризация
ФО ПЭМИН
72

73. Волновые явления на границе раздела двух сред

Коэффициенты Френеля
коэффициент отражения:
коэффициент прохождения
ФО ПЭМИН
73

74. Волновые явления на границе раздела двух сред

Нормальное падение
ФО ПЭМИН
74

75. Волновые явления на границе раздела двух сред

Условие полного прохождения волны во 2-ю среду
Параллельная поляризация
Нормальная поляризация
ФО ПЭМИН
75

76. Волновые явления на границе раздела двух сред

ФО ПЭМИН
76

77. Волновые явления на границе раздела двух сред

Приближенные граничные условия Леонтовича
падающая
отраженная
φ
φ'
z
θ
x
преломленная
ФО ПЭМИН
77

78. Волновые явления на границе раздела двух сред

ФО ПЭМИН
78

79. Поверхностный эффект

Напряженность поля у плоской границы проводника
ФО ПЭМИН
79

80. Поверхностный эффект

ФО ПЭМИН
80

81. Поверхностный эффект

Толщина скин-слоя
Δ - толщина скин-слоя
ФО ПЭМИН
81

82. Поверхностный эффект

Поверхностный импеданс
ФО ПЭМИН
82

83. Поверхностный эффект

Потери энергии в проводнике
ФО ПЭМИН
83

84. Поверхностный эффект

Электромагнитный экран
Тонкий экран (медь, f=1 ГГц:
d<1 мкм).
Коэфф.прозрачности
определяется, в основном,
отражением на границах раздела.
Толстый экран.
Коэфф.прозрачности
определяется, в основном,
затуханием во 2-й среде.
ФО ПЭМИН
84

85. Постановка задачи дифракции в виде интегрального уравнения

0
Et
+
отр
Et
= 0,
0
Ht
+
отр
Ht
= jS
En0 + Enотр = rS / e0 , H n0 + H nотр = 0
r r
r r
r r
A(r ) = m0 j (r ')G (r , r ')dV
ò
V
r
1
r
r r
j(r ) =
r(r ')G (r , r ')dV
e0
ò
V
r r
-ibR ( r , r ')
r r
e
G (r , r ') =
r r - ф-я Грина
4pR (r , r ')
ФО ПЭМИН
85

86. Постановка задачи дифракции в виде интегрального уравнения

r
r
E = -iwA - gradj
r
1) Калибр. Лоренца: divA + iwe0m0j = 0
r
r
r
i
E = -iwA graddivA
we0m 0
2) Использование уравнения непрерывности;
r r
r
iwr(r ') = -divj (r ')
ФО ПЭМИН
86

87. Постановка задачи дифракции в виде интегрального уравнения

1 - n x 2
S (r ) = - n x n y
- nx nz
- nx n y
1 - ny
2
- n y nz
- n x n z
- n y nz
2
1 - n z
t r r отр r
r0 r
Et (r ) = - S (r ) E (r )
t r é
r отр r
r r
r r
ê
Et ( r ) = S ( r ) -iwm 0 jS (r ¢)G (r , r ¢) ds¢ ê
S
ë
ò
ì
üù
r r
r r
ï
ï
- i (wm 0e 0 ) graddiv ím 0 jS ( r ¢)G (r , r ¢)ds¢ý ú .
ú
ï
ï
î S
þû
-1
ФО ПЭМИН
ò
87

88. Постановка задачи дифракции в виде интегрального уравнения

t r
r0 r
r r r r
r r r r ù
-1
é
Et (r ) = iS (r ) wm0G (r , r ¢) jS (r ¢) + ( we 0 ) graddiv { G ( r , r ¢) jS ( r ¢)} ds¢.
ë
û
ò
S
(обобщение ур.-я Поклингтона)
r
i
r S = divjS
w
t r
r0 r
r r
r r r r
r r
-1
é
Et (r ) = iS (r ) wm0G (r , r ¢) jS (r ¢) + ( we0 ) grad { G (r , r ¢)div( jS (r ¢))} ù ds¢
ë
û
ò
S
(обобщение ур.-я Харрингтона)
- интегралы несобственные
ФО ПЭМИН
88

89. Тонкопроволочное приближение

1) на поверхности
проводников в качестве
тангенциальной учитывается
только продольная
составляющая поля;
2) считается, что ток течет
параллельно оси проводника;
3) не учитывается поперечная
вариация поля и тока;
4) считается, что ток является
линейным, текущим по оси.
r r
G (r , r ') ® G (l , l ')
r r
r
jS (r ') ® t(l ') j (l ')
r0 r
Et (r ) ® E 0 (l )
E0 (l) – функция распределения стороннего тангенциального
поля.
ФО ПЭМИН
89

90. Тонкопроволочное приближение

2
é
r r
-1 ¶ G (l , l ') ù
E (l ) = i êwm 0 ( t(l ) t(l ') ) G (l , l ') - (we0 )
ú j (l ') dl '
¶l¶l ' û
ë
L
0
ò
– интегральное уравнение Поклингтона
r r
é
-1 ¶G (l , l ') ¶j (l ') ù
E (l ) = i êwm 0 ( t(l ) t(l ') ) G (l , l ') j (l ') - (we 0 )
dl '
ú
¶l
¶l ' û
ë
0
ò
L
– интегро-дифференциальное уравнение Харрингтона
2
é
r r
-1 ¶ G (l , l ') ù
K П (l , l ') = i êwm0 ( t(l ) t(l ') ) G (l , l ') - (we0 )
ú
¶
l
¶
l
'
ë
û
r r
¶G (l , l ') ¶ ù
é
K Х (l , l ') = i ê wm0 ( t(l ) t(l ') ) G (l , l ') - (we0 ) -1
¶l ¶l ' úû
ë
ò
E 0 (l ) = K (l , l ') j (l ')dl '
L
ФО ПЭМИН
90

91. Тонкопроволочное приближение

(ядра Фредгольмовского типа)
Искомая функция только под знаком интеграла –
уравнения 1-го рода
Интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода
Уравнение: u = A f
Задача корректна по Адамару, если:
- существует решение: u f = A–1u ;
- решение определяется однозначно;
- задача устойчива:
e > 0 d(e) > 0: ||u1 – u2|| ≤ δ(ε) ||f1 – f2||≤ ε
Задача в тонкопроволочном приближении неустойчива!
ФО ПЭМИН
91

92. Уравнения Фредгольма 2-го рода

Осесимметричное возбуждение
r r0
r r отр
r( z )
r0 E ( z ) + r0 E ( z ) =
2pe 0 a
r r0
r r отр
j( z)
j0 H ( z ) + j 0 H
( z) =
2pa
z2
ò
r ( z ) - 1 M ( z , z ' ) r ( z ' )dz' = 2pe 0 aEr0 ( z )
z1
z2
ò
j ( z ) - K ( z , z ' ) j ( z ' )dz' = 2paHj0 ( z )
z1
ФО ПЭМИН
92

93. Уравнения Фредгольма 2-го рода

z
2
r
r отр
1 ¶
r0 E (r , z ) = r( z ')G (r , z , z ')dz '
e0 ¶r
ò
r r отр
¶
j0 H
(r , z ) = ¶r
r( z ) ¶
+
2pa ¶r
j( z) ¶
+
2pa ¶r
z2
z1
z2
ò j( z ')G(r, z, z ')dz '
0
= e 0 r0 E (r , z )
4p r 2 + ( z - z ' ) 2
r =a
r =a
z2
0
= j 0 H (r , z )
ò j( z' )G(r, z, z' )dz'
z1
e
z1
ò r( z' )G(r, z, z' )dz'
z1
G (r , z , z ' ) =
-ib r 2 + ( z - z ') 2
r =a
r =a
ФО ПЭМИН
93

94. Уравнения Фредгольма 2-го рода

¶G
¶r
=-
é
a êib +
ë
r =a
{ ( z - z ')
{
2
+a
4p ( z - z ' ) 2 + a 2
2
}
-1 ù
}
ú
û
exp é- ib
êë
( z - z ') 2 + a 2 ùú
û
a2
= 1 =
2
é
ib
ê
K ( z, z ' ) = M ( z, z ' ) =
êë ( z - z ') 2 + a 2
{
ù
- ib ( z - z ' ) 2 + a 2
úe
+
3
/
2
( z - z ') 2 + a 2 úû
} {
1
}
(аналогично – для произвольного возбуждения, для системы
проводников и т.п.)
ФО ПЭМИН
94

95. Области применения уравнений Фредгольма

N=24
2-го:
1-го:
a=0,005λ
a=0,0125λ
ФО ПЭМИН
a=0,05λ
95

96. Области применения уравнений Фредгольма

Мера обусловленности μ:
m = [ K ] [ K ]-1 где [ K ] = sup
i
K ij
- норма матрицы [K]
j
Ограничения на радиус сверху для ИУ 1-го рода из-за
неустойчивости решения.
«Мягкие» ограничения на радиус сверху для ИУ 2-го рода
из-за роста погрешности приближения осевого тока.
Устраняется введением поправочной функции, частично
компенсирующей погрешность.
ФО ПЭМИН
96

97. Методы решения ИУ

Проекционная схема Бубнова-Галеркина
Решаемое ИУ: E = A I
Вводим функции b1, b2 ,...bN , образующие ортогональный базис
Ищем приближенное решение в виде:
I N (l ) = J1b1 (l ) + ... + J N bN (l ),
J k - искомые коэффициенты
Точное решение: IT (l ) = I N (l ) + s N (l )
- невязка
AI N - E = As N
Невязка должна быть ортогональна всем базисным ф-ям.
Базисные функции, используемые для разложения невязки,
v1 ,...,v N, называются весовыми или координатными
ФО ПЭМИН
97

98. Методы решения ИУ

Из требования ортогональности следует:
( AI - E, v ) = 0 , k=1,…,N.
( AI , v ) = ( E, v ) , k=1,…,N.
J ( Ab , v ) = ( E, v )
N
k
N
k
k
N
i
i
k
k
i =1
Подставляем разложение по базисным ф-ям
N
J ( Ab , v ) = ( E, v )
i
i =1
i
k
k
ì ( Ab1, n1 ) J1 + ( Ab2 , n1 ) J 2 + ... + ( AbN , n1 ) J N = ( E , n1 ),
ï ( Ab , n ) J + ( Ab , n ) J + ... + ( Ab , n ) J = ( E , n ),
1 2 1
2 2 2
N 2 N
2
ïï
í ( Ab1, n3 ) J1 + ( Ab2 , n3 ) J 2 + ... + ( AbN , n3 ) J N = ( E , n3 ),
ï...........................................................................................,
ï
ïî( Ab1, n N ) J1 + ( Ab2 , n N ) J 2 + ... + ( AbN , n N ) J N = ( E , n N ).
ФО ПЭМИН
98

99. Методы решения ИУ

Метод моментов. Проекционные методы
(Базисные ф-ии не обязательно ортогональны. Достаточно ЛНЗ. То же –
о весовых)
Для выведенных выше ИУ:
Z11 L
M O
Z
N1 L
ò
J1 E1
M = M
Z NN J N EN
Z1N
M
в компактной форме: [Z]=[J][E]
ò
ò
Ei = E (l )n*i (l )dl
Zij = vi* (l ) K (l , l ')b j (l ')dl ' dl
L
L
L
i = 1 … N, j = 1 … N.
ФО ПЭМИН
99

100. Методы решения ИУ

Проблема выбора базиса и модели возбуждения
Выбор базиса существенным образом влияет на
эффективность метода.
Функции должны: быть равномерно ограниченными;
быть непрерывными; иметь ограниченные первые
производные; иметь нули на концах проводников.
Базисы полной области: на всем протяжении каждого
проводника антенны задаются несколько отличных от
нуля базисных функций.
Базисы частичных подобластей: каждая базисная
функция отлична от нуля только в пределах
электрически короткого отрезка (сегмента).
ФО ПЭМИН
100

101. Методы решения ИУ

Базисы полной области
Степенной базис (базис Поповича) (токовая ф-я симметрична)
В пределах i-го проводника (l = ci–1 … ci) со ср. точкой ciср = (ci -1 + ci ) / 2
ср ü
ì
l
c
i ï
ï
bik = í1 - 2
ý
c
c
i
i -1 ï
ïî
þ
k
k = 1, 2, …Ni.
bik 0 при l [ci–1 , ci ].
bik(l) 1 при любом l.
ФО ПЭМИН
101

102. Методы решения ИУ

Косинусоидальный базис
ìï
l - ciср üï
bik = cos í(2k - 1) p
ý
c
c
ïî
i
i -1 ï
þ
k = 1, 2, …Ni
Базисы полной области.
Достоинство: быстрая сходимость.
Недостаток: большая ресурсоемкость вычисления
интеграла по l’ (по всей длине проводника) при
расчете [Z]
ФО ПЭМИН
102

103. Методы решения ИУ

Базисы частичных подобластей
Кусочно-постоянный базис
ìïCk , l Î [ lk -1, lk ] ,
bk (l ) = í
ïî0, l [ lk -1, lk ] ,
k = 1, 2, …,N
Достоинства: универсальность,
простота алгоритмизации.
Недостаток: низкая
эффективность (требуется
относительно большое
количество функций).
ФО ПЭМИН
103

104. Методы решения ИУ

Кусочно-линейный и кусочно-синусоидальный базисы
ì
ï0, l [ l , l ] ,
k -1 k +1
ï
ïï l - l
k -1
bk ( l ) = í
, l Î [ lk -1, lk ] ,
ï lk - lk -1
ï l -l
, l Î [ lk , lk +1 ] ,
ï k +1
ïî lk +1 - lk
ì
ï0, l [ lk -1, lk +1 ] ,
ï
ï
ï sin éëb ( l - lk -1 ) ùû
bk ( l ) = í
,
é
ù
sin
b
l
l
ï ë ( k k -1 ) û
ï
ï sin éëb ( lk +1 - l ) ùû ,
ï sin éb ( lk +1 - lk ) ù
û
î ë
l Î [ lk -1, lk ] ,
l Î [ lk , lk +1 ] ,
ФО ПЭМИН
104

105. Методы решения ИУ

Квазипериодические кусочно-синусоидальные функции (ККФ)
[nM ] ( x ) = sgn[ f n ( x ) ]
M +1
é x - x1 ù
[
M]
m bm x - t n ent ê
ú
ë tn û
m =1
f n ( x ) - квазипериодическая функция, аппроксимируемая
(порождающая функция)
M = 1, 3,посредством
5, … – число ККФ
КФ, использованных
для
аппроксимации полупериода порождающей функции;
γm 0
tn
m = M +1- m
0 = M +1 = 0
- полупериод порождающей функции
[
M]
bm ( y ) - кусочно-синусоидальные функции (КФ)
ФО ПЭМИН
105

106. Методы решения ИУ

ì é
( m + 1) t n
ì ( m - 1) t n
üù
- y,
- y ýú ,
ïsin êb min í
M +1
ï ë
î M +1
þû
[
M]
bm ( y ) = í
mt n
tn
ï
ï0 , M + 1 - y M + 1 .
î
mt n
tn
-y
,
M +1
M +1
é
ù
p
(
)
(
)
(
)
f
x
=
cos
2
n
1
x
x
Если n
1 ú ККФ приближает кос. ф-ю
ê
x
x
ë
û
2
1
é
ù
p
( x - x1 ) ú синусоидальную
f n ( x ) = sin ê2n
ë x 2 - x1
û
f n ( x ) - любая квазипериодическая ф-я
ФО ПЭМИН
106

107. Методы решения ИУ

Центры отрезков – носителей КФ:
( m - 1) t n
M +1
-y =
( m + 1) t n
tn
-y =
M +1
M +1
Граничные точки полупериодов порождающей функции
(узловые точки):
m = 0, 1, 2, … M+1.
m = 1 + mt n ( M + 1)
m опр. по критерию совпадения в точках:
m = sin [ mp ( M + 1) ] sin [ b t n ( M + 1) ]
m = 1, 2, … M.
b t n ( M + 1) p 2
ФО ПЭМИН
107

108. Методы решения ИУ

Кос. базис
ККФ, M = 3
ККФ, M = 5
ККФ, M = 7
Использование ККФ-базиса позволяет обойтись без
численного интегрирования (интегралы от кусочносинусоидальных функций определяются замкнутыми
выражениями)
ФО ПЭМИН
108

109. Методы решения ИУ

Формализация сторонних источников (модели возбуждения)
Задание стороннего тока I0
Условие совместимости базиса и модели возбуждения: система
функций I0, b1, b2, … bN д.б. ЛНЗ при любом N.
Задание стороннего поля E0
0
=I 1 0
Оно должно порождаться неким током I0: EА
Условие совместимости, противоположное: базис {bn}, в
котором представляется решение j, должен обладать
полнотой по отношению к функциям I0
ФО ПЭМИН
109

110. Методы решения ИУ

Задание стороннего тока
Задание стороннего поля
При задании ст. тока решение
сходится к ст. току с
противоположной фазой. При
задании ст. поля – вполне
достоверное решение.
ФО ПЭМИН
110

111. Методы решения ИУ

Метод коллокации (метод сшивания в точках)
Весовые функции: d-функции Дирака.
Метод коллокации (сшивания в точках).
Требование равенства нулю тангенциальной составляющей
полного электрического поля в дискретных точках коллокации.
vi (l ) d(l - li ) i = 1, … , N,
ò
Zij = K (li , l ')b j (l ')dl '
Ei = E (li )
L
Невязка →0 при N ® .
N↑ → max{E(l)}↓
E(l)
E(l)
max {E(l)}
max {E(l)}
lk–1
lk
lk+1
lk+2
l
ФО ПЭМИН
lk–3 lk–2 lk–1
lk lk+1 lk+2 lk+3
l
111

112. Методы решения ИУ

Метод Галеркина
ni (l ) bi (l ) i = 1, 2, … N.
Zik =
òò
K (l , l ')bi* (l ')bk (l ')dl ' dl
ò
Ei = E (l )bi* (l )dl
L
LL
По сравнению с методом коллокации:
- из-за необходимости интегрирования по l требуются
большие затраты машинного времени на расчет
коэффициентов и свободных членов СЛАУ;
- более быстрая сходимость решения, т.е. уменьшение
времени на решение СЛАУ.
Выбор opt метода зависит от конкретной задачи.
ФО ПЭМИН
112