Углы в пространстве. 11 класс

1.

2.

3.

Образовательные :
рассмотрение всех возможных комбинаций углов в пространстве (угол
между двумя прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между
двумя плоскостями), решение геометрических задач классическим и
координатно-векторным методами; формирование навыков чтения
чертежей,
умений
проводить
дополнительные
построения
и
вычисления;
Развивающие:
формирование умения выполнять обобщение и конкретизацию, развитие
качества мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность,
критичность с учетом индивидуальных особенностей;
Воспитательные:
Развитие взаимовыручки и взаимопомощи, умение вести культурную
дискуссию, умение четко организовывать самостоятельную и
индивидуальную работу.

4.

Кто не знает, в какую гавань он плывет,
для того нет попутного ветра.
Сенека
1. Угол между скрещивающимися прямыми.
классический
координатно-векторный
2. Угол между прямой и плоскостью.
классический
координатно-векторный
3. Угол между двумя плоскостями.
классический
координатно-векторный
4. Теорема о трех перпендикулярах
5. Теорема косинусов
6. Нормаль к плоскости

5.

Углом между скрещивающимися прямыми называется
угол между пересекающимися прямыми, соответственно
параллельными данным скрещивающимися.
b
a
m
M
a
b
0
0
90
Точку М можно выбрать произвольным образом.
В качестве точки М удобно взять любую точку на одной
из скрещивающихся прямых.
0

6.

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной
к ней, называется угол между прямой и ее
проекцией на плоскость.
М
перпендикуляр
А
проекция
0
0
Н
90
0

7.

Величиной угла между
плоскостями называется
величина меньшего
двугранного угла.
О
0
0
90
0
Величина двугранного угла
измеряется величиной
соответствующего
линейного угла.

8.

a AB a AC
TTП
а
В
перпендикуляр
a AC a AB
TTП
С
А

9.

Квадрат стороны
треугольника равен
сумме квадратов двух
других сторон минус
удвоенное произведение
этих сторон на косинус
угла между ними.
а-?
в
с
a b c 2bc cos
2
2
2
b c a
cos
2bc
2
2
2

10.

Уравнение плоскости в пространстве:
Ax By Cz D 0
n A; B; C
Нормаль к плоскости
a x1; y1; z1
b x2 ; y2 ; z2
n a
n b
Направляющие векторы
плоскости
Для нахождения координат нормали:
n a 0,
n b 0;
Ax1 By1 Cz1 0,
Ax2 By2 Cz2 0.

11.

z
AB x1 ; y1 ; z1
B
C
y
A
CD x2 ; y2 ; z2
D
х
cos
AB CD
AB CD
x1 x2 y1 y2 z1 z2
x12 y12 z12
x22 y22 z22
arccos m
m.

12.

a x; y; z - направляющий вектор прямой l
n A; B; C - нормаль к плоскости
l
n A; B; C
a x; y; z
sin
n a
n a
Ax By Cz
A B C
2
2
2
x y z
2
arcsin m
2
2
m.

13.

n1 A1; B1; C1
n1 - нормаль к плоскости
n2 - нормаль к плоскости
n 2 A2 ; B2 ; C2
О
cos
n1 n2
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1C2
A B C
2
1
2
1
2
1
A B C
2
2
arccos m
2
2
2
2
m.

14.

1
B1
8 2
C1
N1
Дано:
ABCA1B1C1 – прямая призма
A1
8
8
B
ABC – равнобедренный
прямоугольный
треугольник
AB = 8
450
C
8 2
N
2
СС1 = 8
Найти: AC1 , CB1
8
A
Ответ:
600

15.

2
Дано:
D1
С1
А1
В1
наклонная
1
K
D
А
2
2
О
1
ABCDA1B1C1D1 - куб
Найти:
AA1 , BC1D
С
1
В
2
Ответ: arctg
2

16.

3
D1
A1
F
C1
ABCDA1B1C1D1 –
прямоуг. парал-д
М – середина
АВ = 3, BВС
1C1= 4, СС1 = 2
M
B1
2
D
A
п-р
L
3
C
K
4
B
Дано:
Найти:
BMD, ABC

17.

∆BDC ~ ∆BKL ( по двум углам)
D
DC BD
;
KL BK
A
3
5
6
; KL .
KL 2
5
D1
5
3
L
A1
F
C
M
B1
K
4
A
L
3
B
2
B
Из Δ MKL:
D
2
K
4
MK
6 5
tg
2: .
KL
5 3
5
arctg
3
5
Ответ: arctg
3

18.

1 Точка Е – середина ребра ВВ1 куба ABCDA1B1C1D1.
Найти угол между прямыми АЕ и СА1.
2
Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является
равнобедренный треугольник АВС. АВ = АС = 5,
ВС = 8. Высота призмы равна 3. Найти угол
между прямой А1В и плоскостью ВСС1.
3
В правильной четырехугольной призме
ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, а
боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена
точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 2 : 3. Найти угол
между плоскостями АВС и ВЕD1.

19.

F
1
1
2
C1
Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб, BE = EB1.
Найти: AE, CA1
B1
D1
A1
Е
Решение:
Из ∆ ACA1 найдем СА1: CA1 3.
Проведем через А1 прямую А1F ll AE.
C
B
2
D
1
A
AE, CA1 CA1F .
Из ∆ A1B1F (∟B1 = 900) найдем А1F:
A1 F A1 B12 B1 F 2
5
2
Из ∆ CBF (∟B = 900) найдем CF: CF CB 2 BF 2
13
2
CA12 A1 F 2 CF 2
15
cos
:
cos
.
Из ∆ CA1F найдем
2 CA1 A1 F
15
15
15
arccos
.
.
Ответ: arccos
15
15

20.

z
1
B1
C1
Е (1;0;1/2)
A1
B
C
x
y
cos
AE CA1
AE CA1
arccos
0 1 1 1
15
.
15
0 1
2
Направляющие векторы прямых:
1
CA1 1;1;1 , AE 0; 1;
2
A (1;1;0)
1
Введем систему координат.
Определим координаты точек
А, Е, С, А1
AE , CA1 AE; CA1
(0;0;0)
D
Решение:
(1;1;1)
D1
Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб, BE = EB1.
Найти: AE, CA1
2
2
1
1
2
1
12 12 12
2
1
2
5
2
3
15
.
15
15
.
Ответ: arccos
15

21.

2
С1
Дано:
А1
3
М
В1
5
А
С
ABCA1B1C1 – прямая призма,
∆АВС – равнобедренный
АB = АС = 5, ВС = 8, СС1 = 3.
Найти: A1B, BCC1
Решение:
Из ∆A1В1С1 : А1М ┴ ( ВСС1 )
ВМ – проекция А1В на ( ВСС1 )
A1B, BCC1 A1BM .
В
Т.к. В1М = 4, ВВ1 = 3, то ВМ = 5
A1M A1B12 B1M 2 3.
A1M 3
0, 6. arctg 0, 6.
Из ∆А1ВМ: tg
MB 5
Ответ: arctg 0, 6.

22.

z
2
Дано:
(0;3;3)
А1
С1
Найти: A1B, BCC1
В1
Введем систему координат.
Определим координаты точек А1 , B, С, C1
А
Направляющий вектор А1В:
3
sin
х
(4;0;0)
n a
n a
arcsin
3
.
34
A1B 4; 3; 3 .
Направляющие векторы (ВСС1):
BC 8;0;0 , BC1 8;0;3 .
В
(- 4;0;0)
Решение:
у
С
ABCA1B1C1 – прямая призма,
∆АВС – равнобедренный,
АB = АС = 5, ВС = 8, СС1 = 3.
Найдем координаты нормали
A 0,
n BC 0, 8 A 0,
B 1,
n BC1 0; 8 A 3C 0;
C 0.
0 4 1 ( 3) 0 ( 3)
0 2 12 0 2
4 2 ( 3) 2 ( 3) 2
Ответ:
n 0;1;0
3
.
34
arcsin
3
.
34

23.

С1
D1
3
А1
Е
K А
A1D1E
Дано:
Найти: ABC, BED1
В1
F
С
D
1
Решение:
AD K . ( ABC ) ( BED1 ) KB.
D1E
5
В
ABCDA1B1C1D1 – призма,
BC = 1, BB1 = 5, AE : EA1 = 2:3
Проведем ЕН ┴ КВ, тогда АН ┴ КВ
(АН – проекция ЕН)
ABC, BED1 AHE.
2 AA1
2; EA1 AA AE 3.
H
5
AE
2
A1 D1 .
AKE. Найдем АК: AK
EA1
3
AE
Из ∆ АКВ (∟А=900) найдем ВК: BK
AB 2 AK 2
2
1 3
AK AB
3
Найдем высоту АН: AH
BK
13
Из ∆ АНЕ : tg
AE
13; arctg 13.
AH
Ответ:
13
.
3
2
.
13
arctg 13.

24.

D1 (1;1;5)
3
z
А1
Е
y
1
Таким образом
cos
n1 n2
Решение:
Введем систему координат.
Определим координаты точек
A, B, С, E, D1
С (1;0;0) Направляющие векторы плоскостей:
В (0;0;0)
A 0,
n1 BA 0, 1
1)
B1 0,
n1 BC 0; C 1.
1
x
D
n1 n2
F
5
А (0;1;0)
ABCDA1B1C1D1 – призма,
BC = 1, BB1 = 5, AE : EA1 = 2:3
Найти: ABC, BED1
В1
(0;1;2)
Дано:
С1
BA 0;1;0 , BC 1;0;0 . BE 0;1; 2 , BD1 1;1;5 .
Найдем координаты нормалей:
A2 3,
n2 BE 0, B 2C 0,
B2 2C2 ,
2
2
2)
B2 2,
n2 BD1 0; A2 B2 5C2 0; A2 3C2 ; C 1.
2
n1 0;0;1 , n2 3; 2; 1 .
0 3 0 2 1 ( 1)
02 02 12 32 22 ( 1) 2
1
arccos
.
14
1
.
14
Ответ: arccos
1
.
14

25.

Сущность геометрии в ее методе, где строгость вывода
соединяется с наглядными представлениями.
1
Е1
F1
О1
А1
1
F
А
кл
А.Д. Александров
D1
С1
2
А1
В1
Е
С1
D
О
1
В
1
1
С
1
кл
В1
3
С
D
6
А
6
В
кл
1
В
С1
А1
4
С
1
А
D1
к-в
В1
к-в
к-в

26.

1
Е1
D1
О1
F1
А1
1
С1
1
В1
2
2
Е
1
С
В
Найти: AB1 , BC1
Построим ( AA1D ) || ( BB1C ), AO1 || BC1
D
1
А
AB1 , BC1 B1 AO1
Из ∆ АВВ1:
Из ∆ АА1О1:
Из ∆ АА1О1:
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 –
правильная призма, BC = 1,
BB1 = 1.
Решение:
О
F
Дано:
AB1 AB2 BB12 2
2
AO1 AA12 AO
2
1 1
AO12 AB12 O1 B12 ( 2) 2 ( 2) 2 1 3
cos
0, 75.
2 AO1 AB1
4
2 2 2
arccos 0, 75.
Ответ: arccos 0, 75.

27.

1
z
Е1
D1
О1
F1
А1
(1,5;
С1
(1;0;1)
В1
Е
А (0;0;0)
cos
AB1 BC1
С
1
В (1;0;0)
AB1 BC1
1
AB1 , BC1
Введем систему координат.
Определим координаты точек
А, B, B1 , C1
D
1
Найти:
Решение:
О
F
ABCDEFA1B1C1D1E1F1
– правильная призма,
BC = 1, BB1 = 1.
3
;1)
2
y
1
Дано:
Направляющие векторы прямых:
3
1
AB1 1; 0;1 , BC1 ;
;1
2
2
1
3
3
2
0
1 1
2
2
3
1
2
12 02 12
1
2
2
arccos 0, 75.
AB1 , BC1 AB1 ; BC1
x
2
3
2
0, 75.
2 2 4
Ответ: arccos 0, 75.

28.

Дано:
С1
2
М
А1
В1
5
2
Найти: AB1 , AA1C
2
1
С
1
Решение:
В ∆ А1В1С1 проведем В1М ┴ А1С1
АМ – проекция АВ1
AB1 , AA1C MAB1.
1
А
ABCA1B1C1 – правильная
призма, BC = 1, BB1 = 1.
1
В
Из ∆ АВВ1:
AB1 AB2 BB12 2
5
AM AA A1M
Из ∆ АА1М:
2
AM
5
10
10
cos
: 2
. arccos
.
AB1
2
4
4
2
1
Из ∆ АМВ1 :
2
Ответ: arccos
10
.
4

29.

2
Дано:
С1
z
3
;0;1
2
В1
(0;1/2;1)
А1
1
С
1 (0;-1/2;0)
y
ABCA1B1C1 – правильная
призма, BC = 1, BB1 = 1.
Найти: AB1 , AA1C
Решение:
Введем систему координат.
Определим координаты точек
1
А, B1 , A1 , C
3
1
; ;1
Направляющий вектор АВ1: AB1
2
2
Направляющие векторы (AA1C):
В
CA 0;1; 0 , CA1 0;1;1
А (0;1/2;0) 1
x
Найдем координаты нормали
A 1,
n CA 0, B 0,
n 1;0;0
B 0,
C 0.
B
C
0;
n
CA
0;
1
sin
n a
n a
1
3
1
0 0 1
2
2
2
12 0 2 0 2
2
3
1
2
1
2
2
3
:
2
2
6
.
4
arcsin
6
Ответ: arcsin
4
6
4

30.

3
D1
С1
6
6
А1
Найти: ACD1 , A1B1C1
Решение:
В1
( АВС ) || ( А1В1С1 )
4
4
D
( АВС ) ∩ ( А1В1С1 ) = АС
С
О
3 2
А
ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед,
АВ = BC = 6, АА1 = 4.
Дано:
6
D1O ┴ AC
6
В
DO ┴ AC
Из ∆ ABD : BD AD AB 2 36 6 2; DO
2
2
DD1
4
2 2
Из ∆ DOD1 : tg
.
DO 3 2
3
ACD1 , A1B1C1 DOD1
1
BD 3 2
2
2 2
arctg
.
3
2 2
.
Ответ: arctg
3

31.

Дано:
z
3
D1 (0;0;4)
А1
С1
Найти: ACD1 , A1B1C1
Решение:
В1
4
4
D
(6;0;0)
С
(0;0;0)
y
A1 0,
n1 DA 0, 6 B1 0,
B1 0,
1)
n1 DC 0; 6 A1 0; C1 1.
Таким образом
cos
n1 n2
n1 n2
DA 0;6;0 , DC 6;0;0 .
D1 A 0;6; 4 , D1C 6;0; 4 .
Найдем координаты нормалей :
6
В
А (0;6;0) 6
Введем систему координат.
Определим координаты точек: А, D, C, D1
Направляющие векторы (ADC)и (AD1 C):
x
О
ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед,
АВ = BC = 6, АА1 = 4.
2
A
C2 ,
2
3
n
D
A
0,
6
B
4
C
0,
2 1
2
2
2)
B 2 C ;
6
A
4
C
0;
n
D
C
0;
2
2
2
2
2 1
3
A2 2,
B2 2,
C 3.
2
n1 0; 0;1 , n2 2; 2;3 .
0 2 0 2 1 3
02 02 12
22 22 32
3
.
17
Ответ:
3
.
17
3
arccos
.
17
arccos

32.

1. Точка М – середина стороны ВС основания АВС правильной призмы ABCA1B1C1.
Боковое ребро призмы равно 39, а сторона основания равна 12 .Найти угол
между прямой B1M и плоскостью боковой грани ABB1 A1
2. В правильной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра AB 8 3
и SC 17. Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где
М – точка пересечения медиан грани SBC.

33.

Точка М – середина стороны ВС основания АВС правильной призмы ABCA1B1C1.
Боковое ребро призмы равно 39, а сторона основания равна 12 .Найти угол
между прямой B1M и плоскостью боковой грани ABB1 A1
В1
С1
?
600
В
6
К
12
6 600
А
Проекция
М
?
39
2. МК найдем из
3. МВ1 найдем из
В Наклонная
В
12
MK
sin
MB1
К
MB1K
MBK
MK MB sin B 6 sin 60 6
М
С
1. Искомый угол найдем из
39
α
А1
М
В1
3
3 3.
2
MB1 B
MB1 MB 2 BB12 62 ( 39)2 75 5 3.
4. Таким образом:
MK 3 3 3
sin
.
MB1 5 3 5
Ответ:
3
5
arcsin .
3
arcsin .
5

34.

В правильной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра AB 8 3
и SC 17. Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где
М – точка пересечения медиан грани SBC.
Пусть SN – медиана SBC
H, K – проекции точек S и M на основание АBC
1. Искомый угол найдем из MAK
S
tg
17
М
А
H
8 3
K
С
N
В
3
12.
2. Из ABN найдем AN: AN AB sin 60 8 3
2
затем высоту SH:
2
AH AN 8; SH SA2 AH 2 172 82 15.
3
3. По свойству медианы и из подобия NMK NSH
найдем МК, а затем АК:
1
1 1
8
32
MK SH 5; AK AN KN (1 ) AN 12 .
3
3 3
9
3
4. Таким образом:
tg
Ответ:
arctg
MK
.
AK
15
.
32
MK
32 15
15
5:
. arctg
.
AK
3
32
32

35.

Ответьте на вопросы
1) Как определить угол между скрещивающимися
прямыми классическим или координатно-векторным
методом ?
2) Как определить угол между прямой и плоскостью
классическим или координатно-векторным методом ?
3) Как определить угол между двумя плоскостями
классическим или координатно-векторным методом ?

36.

§ 12 (конспект),
тренировочные работы
ЕГЭ 2013 (МИОО)
№ 6, 7,11
Дополнительная задача:
На шаровой поверхности лежат все вершины
треугольника АВС. Точка О – центр шара. Найти
угол между прямой АО и плоскостью треугольника,
если АВ = АС = 10, ВС = 12, АО = 12,5.

37.

Притча
Что ты делал целый день?
Первый с ухмылкой ответил, что
целый день возил проклятые камни.
Второй ответил, что
добросовестно выполнял свою работу.
Третий ответил, что
принимал участие в строительстве храма.