Определенный интеграл

1. Занятие 110. Определенный интеграл

Математика
Занятие 110.
Определенный интеграл
1. Криволинейная трапеция
2. Определенный интеграл
3. Формула Ньютона-Лейбница

2. Криволинейная трапеция

Криволинейной
трапецией
называется
фигура,
ограниченная осью ОХ, вертикальными прямыми x=a и
x=b, а также графиком функции y=f(x), которая на
отрезке [a; b] непрерывна и сохраняет постоянный знак.

3. Криволинейная трапеция

На каких рисунках изображены криволинейные трапеции?
Ответ: 1,2,8,10

4. Определенный интеграл

Определенным интегралом функции y=f(x)
в пределах от а до в называют площадь
соответствующей криволинейной трапеции.
b
f ( x) dx S (кр.трап.)
a
дифференциал
функции
знак
интеграла
пределы
интегрирования
формула
функции

5. Криволинейная трапеция

Решая вопрос о площади криволинейной
трапеции, пришли к выводу, что она будет равна
приращению первообразной F(x) от функции f(x),
которая ограничивает эту трапецию сверху.
b
S F ( x) F (b) F (a )
a
S>0
S<0

6. Формула Ньютона-Лейбница

b
b
a
a
f ( x) dx F ( x)
2
5
х
4
x
1 dx 5
b
2
1
25 15 32 1 31
6,2
5 5
5 5 5
dx
x 3
4
1 x 4 1 x dx 3
3
3
F (b) F (a )
3
1
3
3x
3
1
1
3
3
3 * 3 3 *1
b
f ( x) dx F ( x) F (b) F (a )
1
1
a
1 1
1 27 26
81 3
81 81 81
9
2 39 2 3 2 3 2
38
x dx
x
9
4 * (27 8)
3
3
3
3
3
4
4
a

7. Формула Ньютона-Лейбница

b
b
a
a
f ( x) dx F ( x)
F (b) F (a )
2
3
2
2
2
х
х
2
3
2
0 (6 x 4 х 5)dx 6 * 3 4 * 2 5 х 0 2 х 2 х 5 х 0
( 2 * 2 3 2 * 2 2 5 * 2) ( 2 * 0 3 2 * 0 2 5 * 0)
16 8 10 0 14
1
0
1
5
2
5
7
5
х 1 55 7
х dx х dx
х
7/5 0 7
0
2
1
0
5 5 7 5 5 7 5
* 1 * 0
7
7
7

8. Формула Ньютона-Лейбница

b
b
a
a
f ( x) dx F ( x)
kx b 5 x 2, k 5
4
F (b) F (a )
4
dx
1
1 5 x 2 f (t ) 1 F (t ) ln t 5 ln 5 x 2 1
t
1
1
1
1 18 1
ln 5 * 4 2 ln 5 *1 2 ln 18 ln 3 ln ln 6
5
5
5
5 3 5
1
kx b 2 x 3, k 2
dx
1 (2 x 3)3 f (t ) 1 t 3 F (t ) t 2 1
t3
2
2t 2
1
1
1
1
*
2
2 2(2 x 3) 1
4(2 x 3) 2
1
1
0,01 ( 0,25) 0,24

9. Формула Ньютона-Лейбница

b
b
a
a
f ( x) dx F ( x)
/ 12
kx b 4 x, k 4
/ 12
1
0 cos 4 xdx f (t ) cos t F (t ) sin t 4 * sin 4 x 0
1
1
1
3
3
1
* sin 4 * * sin 4 * 0 * sin 0 *
4
4
3
4 2
8
12 4
1
e
0
3 x 1
kx b 3 x 1, k 3
1 3 x 1 1 1 2 1 1
dx
*e
*e *e
t
t
3
3
3
0
f (t ) e F (t ) e
e 2 1 e3 1
3 3e
3e
F (b) F (a )