Решение иррациональных уравнений с параметром

1. Решение иррациональных уравнений с параметром.

2.

Решение иррационального уравнения
n
f x g x
Зависит от четности натурального числа n:
• если
n – четное, то есть n=2k, где k – натуральное число, то
данное уравнение равносильно системе:
g x 0
2k
x
f
x
g
• если
n – нечетное, то есть n=2k+1, где k – натуральное число, то
данное уравнение равносильно уравнению:
f x g
2 k 1
x

3. Пример 1. Решить уравнение относительно х

x 2 ax 2a x 1
Решение: исходное уравнение равносильно системе
x 1 0,
x 1,
2
2
x
ax
2
a
x
2
x
1
a 2 x 1 2a
Найдем а, при которых
неравенство
1 2a
a 2
x 1,
1 2a
,
x
a
2
a 2.
больше -1, т.е. решим
1
1 2a
a
;
2;
1
3
a 2
1
1 2a
Ответ: a ; 3 2; x
a 2
1
a ;2 - решений нет.
3

4. Пример 2. При каких а уравнение имеет единственный корень?

x 3 2x a
Пример 2. При каких а уравнение
имеет единственный корень?
Решение: исходное уравнение равносильно системе:
2 x a 0
2
2
x 3 4 x 4ax a
a
x
2
4 x 2 4a 1 x a 2 3 0
Данная система имеет единственное решение, если:
D 0
f a 0
2
4a 1 2 16 a 2 3 0
a2
a
2
4 4a 1 a 3 0
4
2
Ответ: при a
49
8
49
a
8
a 6
или a 6 данное уравнение имеет
единственный корень.

5. Пример 3. При каких а уравнение имеет два корня?

x 2a 1 a
x
4
Пример 3. При каких а уравнение
имеет два корня?
Решение: исходное уравнение равносильно системе:
x
a
0
4
2
ax
x
x 2a 1 a 2
4 16
x 4a
2
2
x
8
a
2
x
16
a
32a 16 0
Данная система имеет два решения, если:
2
2
16
a
2
16
a
32a 16 0
D 0
f 4a 0
16a 2 8 4a a 2 16a 2 32a 16 0

6.

32a 80 0
32a 16 0
a
a
5
2
1
2
1 5
a
Ответ: при
; данное уравнение имеет два корня.
2 2