Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
§1. Производная функции в точке. Геометричекий и механический смысл
производной
п 1. Основные понятия.
Рассмотрим функцию у = f(x), определенную на интервале (а; b). Возьмем любое
значение х (а;b) и приращение х аргументу х в точке х0 такое, что х0+ х (а; b).
Приращению аргумента х соответствует приращение функции:
y = f(х0 + х ) – f(х0 ).
Считая х 0, рассмотрим отношение
(1)
y f x 0 x f x 0 ,
x
x
которое будем называть разностным отношением (в данной точке х0).
Определение. Производной функции у = f(x) в точке х0 называется предел при
х 0 разностного отношения ( 1), при условии, что этот предел существует.
y ( x 0 )
f ( x 0 )
Производная функции у = f(x), в точке х0 обозначается символом
или
.
Таким образом, по определению производная функции
f x 0 x f x 0
x 0
x
f x 0 lim

2.

п 2. Геометрический смысл производной
Рассмотрим график функции у = f(x) (рис. 1). Точки М и Р имеют координаты:
М (х0 ,, f(x0)), Р (х0+ х, f(x0+ x)). Угол между секущей МР и осью ОХ обозначим
( x )
У
P
у=f(x)
0
M0
α
φ
х0
х 0+Δх
Х
Рис.1
Имеем
tg ( x )
f x 0 x f x 0
.
x
Так как секущая МР при х 0 переходит в касательную, то
lim tg x tg
где –угол, образованной касательной с осью ОХ.
x 0
.
,

3.

С другой стороны,
.
f x 0 x f x 0
f x 0
x 0
x
lim tg x lim
x 0
Следовательно, f x 0 tg
Таким образом, производная функции f(x) в точке х0 является угловым
коэффициентом касательной к графику функции f(x) в точке М0 ( х0 , f(x0 )).
Уравнение касательной, в этом случае, имеет вид
у − f(x0) = f ´(x0) ∙( x − x0) .
Прямая, проходящая через точку М0(х0, f(x0 )) перпендикулярно касательной,
называется нормалью к данной кривой.
Ее уравнение
1
y f x 0
(x x 0 )
.
f ( x 0 )
п 3. Механический смысл производной.
Пусть функция s = f(t) описывает закон движения материальной точки по
прямой линии, т.е. зависимость пути s, пройденного точкой от начала отсчета за
время t. Тогда производная - это мгновенная скорость v(t0) точки в момент времени
t0 .

4.

п 4. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного
Теорема . Если функции u=u(x), v=v(x) имеют производные в данной точке х,
то в этой точке существуют производные их суммы, разности, произведения и
частного (частное при условии, что v(x) 0), причем имеют место формул
10
u (x ) v(x ) u (x ) v x .
в частности
,
с u (x ) с u (x ),
20
u(x) v(x) u (x)v(x) u(x) v ,(x).
30
u ( x ) u ( x ) v( x ) u ( x ) v ( x )
v( x )
v2 (x)
,
(v(x) 0).
Замечание 1. Нахождение производной функции называется
дифференцированием.
Замечание 2. Производная функции в точке определяет скорость изменения этой
функции в данной точке.

5.

§ 2. Производная обратной функции. Правило дифференцирования сложной
функции.
п 1. Обратная функция.
Пусть даны функция у = f(x) и обратная ее функция х = φ(у) .
Теорема. Если функция у = f(x) строго монотонна на интервале (а;b) и имеет
неравную нулю производную f '(x) в точке х0 этого интервала, то обратная ей
функция х = φ(у) также имеет производную φ'(y) в точке у0 = f (x0 ) ,
определяемую равенством
1
y 0
.
f ( x 0 )
Например. Дана функция у = аrcsin x. Обратная ей функция х = sin у.
Т. к. х´ = (sin у)´ = соs у , то
1
1
1
2
2
(arcsin x )
у
cos
y
1
sin
y
1
x
.
х cos y
1 x2
п.2 Сложной функции
Пусть у = f(u) и u = φ (х), тогда у = f (φ (x)) — называется сложной функцией
с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

6.

Теорема . Если функция u = φ(x) имеет производную u'x в точке х0 , а функция
у = f(u) имеет производную у'u в соответствующей точке u0 = φ (х0), то сложная
функция у = f(φ(x)) имеет производную у‘x в точке х0 ,равную
y x ( x 0 ) y u u x
Пример. Найти производную функции
у = sin5x .
Решение. Здесь у = f(u) = u5 , а
а
u x (sin x) cos x,
u = φ(x) = sin x. Т.к.
то
y x y u u x 5u 4 cos x 5sin4 x cos x
п.3 Таблица производных функций
1. ( с )' = 0.
2. ( uα)' = α∙uα-1 ∙u' ,
2а.
y u (u 5 ) 5u 4 ,
u 2 1u u