Похожие презентации:
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1.
Дифференциальноеисчисление функции
одной переменной.
2.
Определение производнойПроизводной функции y=f(x) в точке х0
y
lim
Называется x 0 x , если этот предел
существует. Производная обозначается f ( x0 )
или f ( x0 ). Таким образом, y ( x0 ) =. lim y
x 0
x
3.
Таблицапроизводных
4.
С´=0, где С – константа.(sinx)´ = cosx.
(xn)´=n.xn-1 где n –
натуральное число
(ax)´=ax∙lna, где a>0, a≠1. В
частности, (ex)´=ex
(logax)´= 1 , где a>0, a≠1.
1
В частности,
(lnx)´=
.
x ln a
(cosx)´ = -sinx
1
(tgx)
2
cos x
1
(ctgx)
sin 2 x
x
(arcsinx)´=
(arccosx)´= -
1
1 x2
1
1 x
2
(arctgx)´=
1
1 x2
(arcctgx)´=
1
1 x2
5.
Правила ДифференцированияПусть u=u(x) и v=v(x) – функции,
дифференцируемые в точке х. Тогда в
этой точке дифференцируемы функции
u+v, u∙v, . Последнее при условии, что
u
v´(x)≠0. Причем,
v
(u+v)´=u´+v´,
(uv)´=u´v+uv´,
u
u v uv
v2
v
.
6.
Производная сложнойфункции
Пусть y=f(u), а u=φ(x). Тогда функция y=f(φ(x))
называется сложной функцией от х.
Теорема. Если функция u=φ(x) имеет
производную в точке х, а функция y=f(u)
имеет производную в соответствующей точке
u=φ(x), то сложная функция y=f(φ(x)) имеет
производную в точке х, причем y x yu u x .
7.
Таблица производных сложных функций1. с´=0
2.
8.
(un)´=nun-1∙u´
9.
(ctgu)
10.(arccos u)
3a. (eu)´=eu∙u´
4. (log a u ) 1
11.
12.
u ln a
4a.
(ln u )
u
1
u
u
5. (sinu)´=cosu∙u´
6. (cosu)´=-sinu∙u´
7.
(tgu)
1
u
2
cos u
1
(arcsin u )
3. (au)´=au∙lna.u´
1
u
2
sin u
1 u
1
2
u
u
1 u
1
(arctgu )
u
2
1 u
1
(arcctgu)
u
1 u 2
2
13. (chu)´=shu∙u´
14. (shu)´=chu∙u´
1
(
thu
)
u
15.
ch u
2
16. (cthu)
1
u
2
sh u
8.
Дифференциал функцииdy = f´(x)∙dx
9.
Теорема Лопиталя (правило Лопиталя).Пусть f(x) и φ(x) – функции,
непрерывные на [a;b],
дифференцируемые на (a;b); φ´(x)≠0
при всех х (a;b) и f(a) = φ(a) = 0.
f ( x)
lim
Тогда если существует
, то
( x)
f ( x)
lim
существует
, причем :
( x)
x a
x a
f ( x)
f ( x)
lim
lim
x a ( x)
x a ( x )
2
x
Пример: lim x
x e
2x
2
lim x 0
lim
x
x e
x e
10.
Применение производнойк исследованию функций
Экстремумы
функции.
11.
Необходимо условиемонотонности функции
Если
дифференцируемая в
интервале (a;b) функция y=f(x)
возрастает (убывает) на (a;b),
то для всех х(a;b) f´(x)≥0
(f´(x)≤0)
12.
Достаточный признаксуществования экстремума
Если непрерывная на интервале функция
y=f(x) имеет производную f´(x) во всех точках
этого интервала, за исключением, может
быть, критической точки с, принадлежащей
этому интервалу, и если f´(x) при переходе
аргумента слева направо через критическую
точку с меняет знак с плюса на минус (с
минуса на плюс), то функция в точке с имеет
максимум (минимум)
13.
Выпуклость и вогнутостьграфика функции
График дифференцируемой функции
называется выпуклым (вогнутым) в
интервале (a;b), если он расположен
ниже (выше) любой своей касательной
на этом интервале
14.
Достаточный признаквыпуклости и вогнутости
Пусть функция y=f(x) имеет вторую
производную f´(x) во всех точках
интервала (a;b). Если во всех точках
этого интервала f´(x)<0 (f´(x)>0), то
график на (a;b) выпуклый (вогнутый).
15.
Достаточный признаксуществования точки перегиба
Если вторая производная f´(x)
непрерывной функции меняет знак при
переходе аргумента через точку х0, то
точка (x0;f(x0)) является точкой перегиба
графика функции.
16.
Асимптоты графика функцииАсимптотой графика функции y=f(x)
называется прямая, расстояние от
которой до текущей точки графика
функции стремится к нулю при
неограниченном удалении этой точки от
начала координат.
17.
План исследования функции ипостроение графика
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Область определения функции.
Точки пересечения графика функции с осями
координат.
Четность, нечетность функции.
Исследование функции на непрерывность.
Вертикальные асимптоты.
Невертикальные асимптоты.
Интервалы монотонности и экстремумы.
Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
Дополнительные точки, lim f ( x ) , периодичность (по
мере необходимости). x
Построение графика.
18.
Пример.Исследовать функцию
и построить ее график.
1.
2
x
y 2
x 4
Область определения:
(-∞;-2) (-2;2) (2;+∞),
такx как при х=-2 и х=2 знаменатель дроби
обращается
0
в ноль.
x 4
2
19.
2. Пусть х=0, тогда у=0. Пусть у=0,тогда , откуда х=0.
(0;0) – точка пересечения графика с
осями координат
2
3.
x
y ( x) 2
y ( x)
x 4
- функция четная.
20.
Функция имеет разрывы в точках х=-2 их=2, так как f(-2) и f(2) не определены.
2
2
x
x
lim 2
lim 2
x 2 x 4
, x 2 x 4
,
4.
x2
x2
lim 2
lim 2
, x 2 x 4
,
x 2 x 4
следовательно, х=-2 и х=2 – точки
разрыва II рода и прямые х=-2 и х=2 –
вертикальные асимптоты.
21.
5.Невертикальныеасимптоты
1
x
x
x2
0
lim
lim 2
k lim 2
x
x x 4
x ( x 4) x
4
1 2
x
x2
1
b lim 2
lim
1
x x 4
x
4
1 2
x
следовательно, прямая у=1 – асимптота.
22.
6.2 x ( x 4) 2 x x
8x
y
2
2
2
2
( x 4)
( x 4)
2
2
у´=0, если -8х=0, откуда х=0 –
критическая точка. Откуда х=-2 и х=2 –
критические точки.
На интервалах (-∞;-2) и (-2;0) функция
возрастает, а на интервалах (0;2) и
(2;+∞) – убывает.
Уmax(0)=0.
23.
7.8 ( x 2 4) 2 8x 2( x 2 4) 2 x
8( x 2 4) 32 x 2
y
2
4
2
3
( x 4)
( x 4)
8x 2 32 32 x 2 24 x 2 32
2
2
3
( x 4)
( x 4) 3
у´´≠0 при х(-∞;∞), х=-2 и х=2 – критические точки
второго порядка.
На интервалах (-∞;-2) и (2;+∞) – график
функции вогнутый, а на интервале (-2;2) –
выпуклый. Точек перегиба нет