Предел последовательности

1.

«Математика
полезна тем, что
она трудна».
(А. Д. Александров)

2. Предел последовательности

3.

3адание 1.
В числовых последовательностях, где
n - натуральное число, найдите первые
10 членов.
( 1)
1
2
,
1) xn , 2) y n n , 3) z n
n
n
n
n
1
1
4) un , 5) vn 1 ,
n
2
n
6) g n ( 1) , 7) f n 2

4.

Задачи: 1)узнать новое
понятие: переменная величина.
Если каждому натуральному числу n
поставлено в соответствие по
некоторому закону число x n , то
говорят, что задана числовая
последовательность xn .
Иногда говорят, что задана
«переменная величина x n , зависящая
от натурального числа n » или ,
короче, «переменная x n »

5.

Какие величины являются
переменными? Запишите их
номера.
( 1)
1
2
,
1) xn , 2) y n n , 3) z n
n
n
n
n
1
1
4) un , 5) vn 1 ,
n
2
n
6) g n ( 1) , 7) f n 2
Ответ: с 1) по 6).

6.

Задачи: 1)узнать новое понятие:
бесконечно малая величина.
Переменную n , зависящую от
натурального n, называют бесконечно
малой, если она стремится к нулю
при неограниченном возрастании n.
n 0
при n

7.

Бесконечно малая величина
3адание 2. Из числовых величин,
выпишите бесконечно малые.
1
( 1)
2
1) xn , 2) y n n , 3) z n
,
n
n
n
n
1
1
4) un , 5) vn 1 ,
n
2
n
6) g n ( 1) , 7) f n 2
Ответ: 1), 3), 4).

8.

Задачи: 1)узнать новое понятие:
бесконечно большая величина.
Переменную n , зависящую от
натурального n, называют бесконечно
большой, если она стремится к
бесконечности при неограниченном
возрастании n.
n
при n

9.

Бесконечно большая величина;
3адание 3. Из числовых величин,
выпишите бесконечно большие.
1
( 1)
2
1) xn , 2) y n n , 3) z n
,
n
n
n
n
1
1
4) un , 5) vn 1 ,
n
2
n
6) g n ( 1) , 7) f n 2
Ответ: 2).

10.

Предел последовательности.
Пусть задана переменная x n .
Если n можно записать в виде суммы
x
xn a n
(n 1, 2, 3, ...),
где a – некоторое число и n бесконечно малая , то говорят, что n
имеет своим пределом число a
Или что n стремится к числу а.
Пишут lim x a , x a при n
n
n
x
x
n

11.

lim x n a , а – некоторое число
n
Если n - бесконечно малая величина, то
lim n 0
n
Если n = 0 для любого натурального n,
n бесконечно малая величина

12.

Примеры
1
1) lim
0,
n n
2)
n
n
3)
4)
5)
lim
( 1) n
0,
n
lim
1
nlim
2
1
0.
n
2
lim
( n 1)
lim
n
n
1
(1 ) 1.
n
n
n
lim а lim (а n ) a ( n 0)
n
n