Определенный интеграл. Формула интегрирования по частям (пример 4)

1.

Определенный интеграл
Формула интегрирования по частям
Пример 4
Попова Елена Александровна
К. пед. н., доцент
доцент кафедры ММиИТ ТЭИ,
СФУ
[email protected]
9 апреля 2020
Красноярск

2.

Формула интегрирования по частям
b
a u dv u v
b
a
b
a v du
9 апреля 2020
Красноярск
2

3. Интегрирование по частям

Пример 4. Вычислить:
2
x ln(1 x) dx
0
3

4. Интегрирование по частям

Пример 4. Вычислить:
u ln(1 x) dv xdx
2
x ln(1 x) dx
0
dx
du
1 x
x2
v
2
4

5. Интегрирование по частям

Пример 4. Вычислить:
u ln(1 x) dv xdx
2
x ln(1 x) dx
0
dx
du
1 x
x2
v
2
2 2
2
x
x 2 dx
ln (1 x)
2 0 0 2 1 x
5

6. Интегрирование по частям

Пример 4. Вычислить:
u ln(1 x) dv xdx
2
x ln(1 x) dx
0
dx
du
1 x
x2
v
2
2 2
2
22
1 2 x2 1 1
x
x 2 dx
dx
ln (1 x)
ln (1 2) ln (1 0) 0
2
2 0 1 x
2 0 0 2 1 x
6

7. Интегрирование по частям

Пример 4. Вычислить:
u ln(1 x) dv xdx
2
x ln(1 x) dx
0
dx
du
1 x
x2
v
2
2 2
2
22
1 2 x2 1 1
x
x 2 dx
dx
ln (1 x)
ln (1 2) ln (1 0) 0
2
2 0 1 x
2 0 0 2 1 x
1 2 x2 1
1 2 dx
2 ln 3
dx
2 0 1 x
2 0 1 x
7

8.

1 2 x2 1
1 2 dx
2 ln 3
dx
2 0 1 x
2 0 1 x
8

9.

1 2 x2 1
1 2 dx
2 ln 3
dx
2 0 1 x
2 0 1 x
1 ( x 1)( x 1)
1
2 ln 3
dx ln (1 x)
20
1 x
2
0
2
2
9

10.

1 2 x2 1
1 2 dx
2 ln 3
dx
2 0 1 x
2 0 1 x
1 ( x 1)( x 1)
1
2 ln 3
dx ln (1 x)
20
1 x
2
0
2
2
12
1
2 ln 3 ( x 1) dx (ln 3 ln 1)
20
2
10

11.

1 2 x2 1
1 2 dx
2 ln 3
dx
2 0 1 x
2 0 1 x
1 ( x 1)( x 1)
1
2 ln 3
dx ln (1 x)
20
1 x
2
0
2
2
12
1
2 ln 3 ( x 1) dx (ln 3 ln 1)
20
2
2
1 x
1
2 ln 3 x ln 3
2 2
0 2
2
11

12.

1 2 x2 1
1 2 dx
2 ln 3
dx
2 0 1 x
2 0 1 x
1 ( x 1)( x 1)
1
2 ln 3
dx ln (1 x)
20
1 x
2
0
2
2
12
1
2 ln 3 ( x 1) dx (ln 3 ln 1)
20
2
2
1 x
1
2 ln 3 x ln 3
2 2
0 2
2
1 4
1
2 ln 3 2 0 ln 3
2 2
2
12

13.

1 2 x2 1
1 2 dx
2 ln 3
dx
2 0 1 x
2 0 1 x
1 ( x 1)( x 1)
1
2 ln 3
dx ln (1 x)
20
1 x
2
0
2
2
12
1
2 ln 3 ( x 1) dx (ln 3 ln 1)
20
2
2
1 x
1
2 ln 3 x ln 3
2 2
0 2
2
3
1 4
1
2 ln 3 2 0 ln 3 ln 3
2 2
2
2
13