Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

1. Алгебра

2. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

1. О вычислении площади
криволинейной трапеции
2. О вычислении массы стержня
3. О перемещении точки

3. Задача 1. О вычислении площади криволинейной трапеции

у
y= f(x)
О
а х1 х2
Фигура, ограниченная графиком
непрерывной и неотрицательной
на отрезке [a;b] функции, осью х,
прямыми х=а и х= b (a<b), называется
криволинейной трапецией
xn-1 b
х
Площадь трапеции = сумме площадей столбиков

4.

у
f (xk)
О
S f ( xk ) x
хk
х k
x k+1
х

5.

Площадь трапеции приближенно равна площади Sn
у
Sn f ( x0 ) x0 f ( x1 ) x1 ... f ( xn 1 ) xn 1
y= f(x)
S Sn
Чем больше n, тем точнее S
Площадь криволинейной трапеции
равна пределу последовательности Sn
О
а х1 х2
xn-1 b
х
S lim S n
n

6. Задача 2. Дан прямолинейный неоднородный стержень. Найти массу стержня.

a
m V
b
1. Разобьем отрезок [a;b] на равные части
2. Рассмотрим участок [x k;x k+1], допустим что его плотность постоянна
mk xk xk
m S n m0 m1 ... mn 1
x0 x0 x1 x1 ... xn 1 xn 1
m l im S n
n

7. Задача 3. По прямой движется точка. Зависимость скорости от времени v=v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [a;b]

1.
2.
Разделим промежуток времени [a;b] на n-равных частей
Рассмотрим [t k ;t k+1]. Будем считать, что на этом промежутке
скорость была постоянной.
sk v tk tk
s Sn
S n s0 s1 ... sn 1
v t0 t0 v t1 t1 ... v tn 1 tn 1
s lim S n
n

8.

S lim S n
n
m lim S n
n
s lim S n
n
Три задачи привели к новой
математической модели:
•Новый термин
•Обозначение
•Научиться с ней работать

9. Определенный интеграл

lim S n
n
Называют определенным интегралом
от функции по отрезку [a;b]
b
lim S n f x dx
n
a

10.

b
S f ( x)dx
a
b
m p ( x)dx
Геометрический смысл определенного
интеграла
Площадь криволинейной трапеции
Физический смысл определенного
интеграла
Масса неоднородного стержня
a
b
s v t dt
a
Перемещение точки

11.

История возникновения знака интеграла
S
сумма
Интеграл от лат. integer - «целый»

12. Для вычисления определенного интеграла используют формулу Ньютона-Лейбница

13. Формула Ньютона -Лейбница

Теорема:
Если y f ( x) непрерывна на а; b , то
b
f(x)dx F (b) F (a), где F(x) первообразная
a
b
a
f ( x)dx F (b) F (a) F ( x) a
b

14.

Пример 1
3
х
dx
4
1
3 1
81 1 80
20
4
4
4 4 4
1
4 3
х
4
4
4

15. Правила вычисления определенного интеграла

b
b
b
a
a
a
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx
b
b
a
a
kf ( x)dx k f ( x)dx
Если a c b , то
c
b
b
a
c
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx