Определители. Матрица и ее определитель

1.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

2.

МАТРИЦА И ЕЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
a11
a
21
A
...
an1
a12
a22
...
an 2
... a1n
... a2 n
,
... ...
... ann
A
a11
a12
... a1n
a21
a22
... a2 n
...
...
...
an1
an 2 ... ann
...
.
Матрица – таблица, определитель – число.

3.

ОБОЗНАЧЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
det A A

4.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Вычисление определителей 2-го порядка
A
a11
a12
a21
a22
a11a22 a12 a21
Определитель 2-го порядка равен произведению элементов
главной диагонали минус произведение элементов побочной
диагонали.
24.09.2020

5.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 2-ГО ПОРЯДКА
A
1 B
4
2
1 3
5 1
2 4
2 C
4 ( 3) 2 ( 1) 12 2 10.
5 4 1 2 20 2 18.
3
4
3
2
6 12 18.
24.09.2020

6.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 3-ГО ПОРЯДКА
Правило треугольников (Правило Саррюса)
24.09.2020

7.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 3-ГО ПОРЯДКА
a11
a12
a13
a21
a22
a23 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32
a31
a32
a33
(a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 ).
24.09.2020

8.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 3-ГО ПОРЯДКА
4
2
A 1 2
2
1
3 4 2 ( 1) 2 3 2 1 ( 1) 1
1 1
(1 2 2 2 ( 1) ( 1) 4 3 1) 8 12 1 (4 2 12)
3 18 15.
24.09.2020

9.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 3-ГО ПОРЯДКА
1
2
3
A 2
4
1 ;
3 2
5
6
7
8
9
3
2 .
4
5
1
24.09.2020

10.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 3-ГО ПОРЯДКА
1 2
A 2
4
3 2
3
1 1 4 5 ( 2) ( 1) 3 2 ( 2) 3
5
(3 4 3 ( 2) 2 5 ( 1) ( 2) 1)
20 6 12 (36 20 2) 14 18 4.
24.09.2020

11.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 3-ГО ПОРЯДКА
6 7
8
A det A 9
3
2 6 3 ( 1) ( 7) ( 2) 4 9 5 8
4
5
1
(8 3 4 ( 7) 9 ( 1) ( 2) 5 6)
18 56 360 (96 63 60) 398 99 299.
24.09.2020

12.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
1)
Свойство равноправия строк и столбцов
определителя.
T
a11
a12
a13
a21
a22
a31
a32
4 1
6 2
a11
a21
a31
a23 a12
a22
a32 .
a33
a23
a33
a13
8 6 2;
T
4 6
1 2
T
8 6 2; T .
24.09.2020

13.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
2)
; 1
1
24.09.2020

14.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
2 3 1
1 3 2
3 2 1
5 4 3 ; 1 5 4 3 ; 2 4 5 3 ;
1 3 2
2 3 1
3 1 2
1 , 2 .
24.09.2020

15.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
2 3 3
3) 4
2
6 2 2
3 1 9
1
3
2
4) 4 3 5 0;
1
3
2
2 3 3
1
2 3 1
3 3 4
3 1 9
2
2 3 1
2 6 2
3 1 3
1
1
3 1 3
2 4 4
3 5 5 0.
1 2 2
2 0 0.
24.09.2020

16.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
1
5) 5
3
2
1
4 0.
3 9
3
3 5 1
4 0.
2
1
3
4
6
0 1
1
1 0;
4
6
6) 0
0
0 0;
5
3
2
6
3
2 1
1
2 1
5
24.09.2020

17.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
3
7) 2
1 1
4
4 2
3
2
6 2
5
1 1
4
4 2
1 1 ( 2)
3
4
6
4 2
5
5
2
1 1
4
10 0
6 .
7
1 1
6 10 4
6 .
5
5
0
3
2
2
24.09.2020

18.

МИНОР И АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
ЭЛЕМЕНТА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
a11 ... a1 j
... a1n
...
...
ai1
...
...
...
... aij
...
...
an1 ... anj
...
... ain M ij ;
... ...
... ann
3
2
1
4
1
3
1
2
2
4
3
1
4
3 2 1
3
1
; M 32 1 1
Aij ( 1)
4
i j
M ij
A32 M 32
24.09.2020
4
2 .
2 1

19.

МИНОР И АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
ЭЛЕМЕНТА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
1)
3
2
1
4
1
3
1
2
2
4
3
1
4
3 2 1
3
; M 32 1 1
2
4
3
2) 1
3
2 ; M 33
1 1 1
1
4
2 4
1 3
4
2 3 8 8 16 12 1 32.
2 1
A32 M 32 32.
6 4 2; A33 M 33 2.
24.09.2020

20.

МИНОР И АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
ЭЛЕМЕНТА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
Вычислить определитель. Найти алгебраические дополнения
элементов первой строки определителя.
2
4
3
1
3
2
1 1 1
24.09.2020

21.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПУТЕМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО
ЭЛЕМЕНТАМ 1-Й СТРОКИ
2 4 3
1 3 2 6 8 3 9 4 4 26.
1 1 1
A11
3
2
1 1
M 11 5; A12 M 12
1 2
1 1
1; A13 M 13
1
3
1 1
a11 A11 a12 A12 a13 A13 2 ( 5) 4 ( 1) 3 ( 4) 26.
4.

22.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПУТЕМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО
ЭЛЕМЕНТАМ 2-ОЙ СТРОКИ
2
4
3
1
3
2 26.
1 1 1
A21 M 21
A22 M 22
2
4
3
1 1
3
1 1
4 3
1 1
1;
5; A23 M 23
a21 A21 a22 A22 a23 A23 1 1 3 ( 5) ( 2) 6 26.
24.09.2020
2
4
1 1
6.

23.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПУТЕМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО
ЭЛЕМЕНТАМ 3-ГО СТОЛБЦА
2
4
3
1
3
2 26.
1 1 1
A13 M 13
1
3
1 1
4; A23 M 23
A33 M 33
2 4
1 3
2
1 1
6 4 2.
a13 A13 a23 A23 a33 A33 3 ( 4) ( 2) 6 ( 1) 2 26.
24.09.2020
4
6;

24.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПУТЕМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО
ЭЛЕМЕНТАМ СТРОКИ (СТОЛБЦА)
Определитель (любого порядка) равен сумме
произведений элементов любой его строки
(любого его столбца) на их алгебраические
дополнения.
24.09.2020

25.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПУТЕМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО
ЭЛЕМЕНТАМ СТРОКИ (СТОЛБЦА)
a11
a12
... a1n
a21
a22
... a2 n
...
...
...
an1
an 2 ... ann
...
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain
a1 j A1 j a2 j A2 j ... anj Anj .
24.09.2020

26.

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
n-го
ПОРЯДКА
1. Разложением по элементам строки или столбца.
2
4
3
1
3
2 4 1 3 ( 5) ( 1) ( 7) 26.
1 1 1
2. Понижением порядка (накоплением нулей в строке или столбце)
2
4
3
1
3
2
1 1 1 ( 2); (3)
5
1
1
1
0
5
0 1
1 1
5
1
1 5
26.
24.09.2020

27.

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
2
4
3
1
3
2 1 4 1 1
1 1 1
2 6
1 0
5
0
6
5
4 1
n-го
ПОРЯДКА
26.
3. Приведением к треугольному виду
2
4
3
1
3
2
1
3
2 2
4
3 2
1 1 1
1 1 1
1 3
1
4
2
1 3 2
3 0
1 1
0
1 3
2 7 0
2
4 1
0
0
2
7 26.
13
24.09.2020

28.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Треугольный определитель равен произведению своих диагональных
элементов (т.е. элементов своей главной диагонали).
1 2
6
5
0 4
3
0
0 0 2
3
0 0
1
0
4
3
1 0 2
0
0
0
3 1 4
1
2
3
0
1
1 4 ( 2) ( 1) 8.
24.09.2020

29.

УПРАЖНЕНИЯ
Вычислить определители:
1)
2
0
4 1
3
2
3
2
0
5
2
1
3
1
4
3
1
2
0
0
0 1
1
2
0
0
0
0
0
4 0
3
1
4 2
0
2
2 1
2 1 0
0 0 1
1
2)
3)
3 1 3 2
3
3 7 1
4) 0 4 6 0 4 6 3 4 1 12.
3 7 1
0 0 1
24.09.2020

30.

ОТВЕТЫ
1)
4
3
1
2
2
0
0
0
3
1
4 2
2 1 0
2 ( 1)
3
2 1
4 2
1 0
1
11 10
1
2 ( 4)
1
1
2
3
1
1
5
1
2
2 11 0 10
1
1
11 10
1
0
1
2 (11 ( 10)) 2 21 42.
или
3
2 1
1
2
2
4 2 2 1 4 2 2
1 0
1
0
0
1
5
1
1 4
2 (20 1) 42.
24.09.2020

31.

ОТВЕТЫ
2)
0
0
0 1
1
0
0 0
1 0
0
0
0
0
4 0
0
0
4 0
0 4
0
0
0
2
2 1
1
2
2 0
1 2
2
0
3 1 3 2
2 1 3 3
1 4 2 3 24.
2 3 1 3
24.09.2020

32.

ОТВЕТЫ
2
0
1
3
2
0
3
4 1
3
2
2 2
0
1
2 2 0 1
3
2
0
5
3
2
0
5
2
1
3
1 ( 1)
2
1
3
1
2
2
1
0
2
1
0
0
1
3
2
5 5
2
5 5
8
5 1
1
3)
3
7 11
2
18 11
2
18 15
4
1 1 ( 3)
3
2
0
2
1
3 1
2
5
3
4
1 1
2
2
0 1
3
2
0
5
7 11 0
2
5
8
18 15
5
8
18 15
( 2)
3
5 8
6
5
3(25 48) 3 73 219.
24.09.2020