Теория деформаций. Лекция 4

1. Тема 2. Теория деформаций

2. Перемещения. Понятие о деформациях. Тензорная природа деформированного состояния в точке

Перемещения. Понятие о деформациях.
Тензорная природа деформированного
состояния
и
и
ц
к
в точке
ле
.
й
Деформация в точке –околичественная
мера
л в окрестности точки.
деформирования материала
ш
о
р
п
Элементарный параллелепипед
а
в окрестности
Н точки В
со сторонами
.
dx, dy, dz
В результате деформации
длины ребер получат приращения:
dx, dy, dz
Относительные линейные деформации в точке
dx
x
;
dx
dz
dy
.
y
; z
dz
dy
dx
– безразмерные величины порядка
dx
10 3 10 4

3.

Перемещения. Понятие о деформациях. Тензорная
и
природа деформированного исостояния
в точке
ц
к
е
л
й малые изменения
о
Первоначально прямые углы получают
л
ш
о
р
п
угловые
y
а
Н
деформации –
углы сдвига –
сдвиги.
x
T
x
yx
2
zx
2
xy
yz
zx
xy
2
y
zy
2
xz
2
yz
2
z

4.

Перемещения. Понятие о деформациях. Тензорная
ю
природа деформированного состояния
в точке
ь
т
с
о ций
н
ол рма
п
о изменения
амалые
й
е
л
ф
Первоначально прямые углы получают
е
и
е
т
д
ор
е
р
xy
е
к
т
ч нзо
:
о
у
й
т
д
е
и
y
в нт
ж угловые
н
е
е
м яж
деформации
–
ое ада
я
н
yz
р
и
н
з
г
п
о нуглы
а сдвига –
ва ли
л
о
а
р ес
й
н
и
сдвиги.
е
а
,
и
м
я ор
р но
а
ей
о
zx
с
е
н
е
о
ф
т
л
л
о
те
и
Де еде
о
п
й
т
ор
и
р
в
е
ц
о
у
п
а
оп
в
xz
и
т
м
р
xy
с
р
п
е фо
x
нт
щ
е
у
н
е
2
2
о
С
д
п
м
ко а
и
е
и
и
р
ц
н
ва ензо орма
о
…
аз ты т еф
р
б
ео риан си д
р
о
П
• Инва ные
• Глав
x
T
yx
2
zx
2
y
zy
2
yz
2
z

5.

Связь перемещений и деформаций.
Формулы Коши
после деформации
Для исследования деформированного состояния в точке
рассматриваем бесконечно малый отрезок АВ
B'
y
Координаты
w'
z
A u
x
y z
до деформации
v'
x+dx
x, y, z
точки В:
x dx,
z+
dz
v
B
u'
y+dy
A'
w
точки А:
x
y dy, z dz
Компоненты смещений
точки А:
u, v, w
точки В:
u , v , w

6.

Связь перемещений и деформаций.
Формулы Коши
Для исследования деформированного состояния в точке
рассматриваем бесконечно малый отрезок АВ
B'
y
w'
z
A u
x
y z
u
u
u
dx dy dz
x
y
z
v
v
v
v v dx dy dz
x
y
z
w
w
w
w w
dx
dy
dz
x
y
z
u u
v'
x+dx
z+
dz
v
B
u'
y+dy
A'
w
Для малых перемещений
можно записать
x
Напоминание: функция перемещений предполагается непрерывной, раскладываемой в ряд
Тейлора и при малых деформациях члены второго и высших порядков малости отбрасываются.

7.

Связь перемещений и деформаций.
Формулы Коши
Если отрезок АВ параллелен оси х, то dx = dy = 0 и формулы
упрощаются :
B'
y
w'
z
A u
x
y z
v'
x+dx
z+
dz
v
B
u'
y+dy
A'
w
x
u
dx
x
v
v v dx
x
w
w w
dx
x
u u
x элементарных отрезков,
Для
параллельных осям y и z
получаются подобные
выражения заменой х,
соответственно, на y и z.

8.

Рассмотрим отрезок АВ, параллельный оси х.
u
dx (dx u u dx) dx
x
Относительное удлинение вдоль оси х
Удлинение отрезка АВ:
y
B'
A'
dx u
dx
x
Аналогично - вдоль осей у и z
u
A
x
x
B
dx
y
x
u
u
dx
x
dy v
dy
y
dz w
z
dz
z

9.

Рассмотрим два ортогональных отрезка:
Для малого угла поворота отрезка АВ:
‖ х, АС ‖ у.
v
tg
АВ
Для малого угла поворота отрезка АC:
Таким образом искажение
прямого угла между х и у
xy
y
u v
y x
Аналогично:
xz
u w
z x
yz
v w
z y
u
u
dy
y
x
u
tg
y
C
dy
u
v
v dx
x
v
B
A
dx
x

10.

Полученные соотношения
u
x
x
v
y
y
w
z
z
Уравнения Коши
xy
u v
y x
xz
u w
z x
yz
v w
z y
Если заданы три функции u, v, w (как функции координат x, y,
z) , то уравнения Коши позволяют определить шесть
деформаций через первые производные
от составляющих перемещения.
Все шесть функций для компонентов деформаций
произвольно задать нельзя, т.к. они связаны тремя
перемещениями.

11.

Получим зависимости между компонентами деформации
в одной плоскости
u
x
x
v
y
y
xy
2 x
3u
2
у
x у 2
2 у
х 2
u v
y x
3v
y x 2
2
2 x y
2 u v
2
2
у
x
x у y x
2
Если заданы функции двух
линейных деформаций, то это
определяет и угол сдвига
2 y
2 xy
x
2
2
у
x
x у

12.

Получим зависимости между деформациями
в разных плоскостях
xy
xz
u v
y x
u w
z x
yz
v w
z y
2u
2v
z
y z x z
xy
xz
2u
2 w
y
y z x y
2v
2 w
x
x z x y
yz
2
w то это
yz
xy
Если заданы функции
деформаций
сдвига,
xz
2
определяет и удлинениЕ
x
y
z
x y
yz yzxz xzxy xy 3 w 2 z 2 z
2
2 2
z x z xy
yz z x y
xz y x y

13.

Уравнения совместности деформаций
xy
x y
2
2
у
x
x у
yz xz xy
2 z
2
z x
y
z
x y
2 xz
2 z 2 x
2
2
x
z
x z
2 x
zx xy yz
2
x y
z
x
z y
2
2
2
2 y
2
2 zy
z
2
2
у
z
z у
2
y
xy
zx
yz
2
y z
x
y
x z
Если заданы функции двух
линейных деформаций, то это
определяет и угол сдвига в
соответствующей плоскости
Если заданы функции
деформаций сдвига, то это
определяет и удлинениЯ

14.

Уравнения совместности деформаций
xy
x y
2
2
у
x
x у
yz xz xy
2 z
2
z x
y
z
x y
2 xz
2 z 2 x
2
2
x
z
x z
2 x
zx xy yz
2
x y
z
x
z y
2
2
2 y
2
2 zy
z
2
2
у
z
z у
2
y
xy
zx
yz
2
y z
x
y
x z
Обратите внимание на «игру» координат!
на
пр
им
ер
2
Заметьте: теория деформаций =
= геометрические рассмотрения

15. Обобщенный закон Гука

• Эксперимент:
при растяжении образца в пределах упругости :
E
Закон Гука
при линейном
напряженном состоянии
и
Относительная
продольная
поперечная
деформация

16. Обобщенный закон Гука

и
E
• Образец из изотропного материала;
• Элементарный объем с гранями, параллельными главным
площадкам:
3
ε2
- продольная деф.
1
1
ε1
2 1
- поперечные деф.
3 1
σ1
2
ε1
ε3
σ1
1

17. Обобщенный закон Гука

• В случае трехосного напряженного
состояния следует учесть действие всех
трех главных напряжений.
• Малые упругие деформации →
→ независимость действия сил →
Линейная деформация в направлении
главной оси 1 = сумме вкладов каждого
из главных напряжений
( ) ( ) ( )
1
1
1
1
2
1
ε2
σ1
3
Направление 1 является поперечным
для направлений 2 и 3 , потому
2
1 ( 2 )
E
3
2
3
1 ( 3 )
E
ε1
ε3
σ1
1

18. 1.16 Обобщенный закон Гука

• В случае трехосного напряженного состояния следует учесть действие
всех трех главных напряжений.
• Малые упругие деформации →
• независимость действия сил →
• линейная деформация в направлении главной оси 1 = сумме вкладов
каждого из главных напряжений
3
( ) ( ) ( )
1
1
1
1
2
2
1 ( 2 )
E
1
3 σ1
1 ( 3 )
E
2
Таким образом
ε2
3
.
ε1
ε3
1
1 1 ( 2 3 )
E
σ1
1

19. 1.16 Обобщенный закон Гука

•Аналогично для двух
других направлений:
Закон Гука
для линейных деформаций
в главных осях.
1
1 1 ( 2 3 )
E
1
2 2 ( 1 3 )
E
1
3 3 ( 1 2 )
E
3
ε2
σ1
2
ε1
ε3
σ1
1

20. Обобщенный закон Гука

• При наличии касательных
напряжений на гранях:
• Обобщенный закон Гука в
произвольных осях:
yz
x
σу
z
zx
σz
zy σz
1
x x ( y z )
E
1
y y ( x z )
E
1
z z ( x y )
E
xy G xy
yz G yz
xz G xz
yz
y
σу
При малых деформациях
изменение углов (сдвиг)
не влияет на изменение длин отрезков

21. Обобщенный закон Гука

• Обобщенный закон Гука в
произвольных осях:
При малых деформациях
изменение углов (сдвиг)
не влияет на изменение длин
отрезков
yz
x
σу
z
zx
σz
yz
y
σу
zy σz
1
x x ( y z )
E
1
y y ( x z )
E
1
z z ( x y )
E
xy G xy
yz G yz
xz G xz
Три упругие постоянные
связаны между собой G
зависимостью:
E
2 (1 )

22. Объемная деформация

1.16.1 Относительное изменение объема в точке
V dx dy dz
z
В результате деформации
• Размеры граней:
dz
dx·(1+εx);
y
dy·(1+εy);
dz·(1+εz);
x
dy
dx
• Объем: V+dV= dx·(1+εx) · dy·(1+εy) · dz·(1+εz);
• Изменение объема:
dV dx dy dz (1 x ) (1 y ) (1 z ) dx dy dz
dx dy dz ( x y z x y z y x z x y Z )

23. Объемная деформация

1.16.1 Относительное изменение объема в точке
z
V dx dy dz
В результате деформации
• Размеры граней:
dz
dx·(1+εx);
y
dy·(1+εy);
;
dz·(1+εz);
x
dy
dx
• Объем: V+dV= dx·(1+εx) · dy·(1+εy) · dz·(1+εz);
• Изменение объема:
dV
dx dy dz ( x y z x y z y x z x y Z )
Более высокий порядок малости

24. Объемная деформация

Относительное изменение объема в точке
V dx dy dz
z
В результате деформации
• Размеры граней:
dx·(1+εx);
dy·(1+εy);
dz·(1+εz);
dy
dx
x
• Объем: V+dV= dx·(1+εx) · dy·(1+εy) · dz·(1+εz);
• Изменение объема:
dV dx dy dz ( x y z )
Относительное
изменение объема
V
x y z
V
dz
y

25. Объемная деформация

Закон Гука для объемной деформации
z
Относительное
изменение объема
dz
V
x y z
V
y
dy
x
dx
1
1
1
x ( y z ) y ( x z ) z ( x y )
E
E
E
1 2
y x z
E
Закон Гука для
объемной деформации