Исследование напряженного состояния в точке тела. Тема 7

1. Тема 7. Исследование напряженного состояния в точке тела

2. Объемная деформация

Итак:
Объемная деформация
Предельное значение коэффициента Пуассона
•Закон Гука для объемной деформации
1 2
y x z
E
• Пусть имеем растяжение во всех направлениях
σx = σ y = σz = p > 0
•Изменение объема должно быть больше нуля
z
1 2
3 p
0;
E
1 2 0
0.5
dz
y
x
dy
dx

3. Потенциальная энергия деформации

Формула потенциальной энергии в произвольных
и главных осях
z
Элементарный параллелепипед dx, dy, dz;
Эквивалент механической энергии,
затрачиваемой на деформацию –
– работа внешних сил –
dz
y
x
dy
dx

4. Потенциальная энергия деформации

Формула потенциальной энергии в произвольных
и главных осях
z
Элементарный параллелепипед dx, dy, dz;
Эквивалент механической энергии,
затрачиваемой на деформацию –
– работа внешних сил –
dz
y
F
x
Δ
dy
dx

5. Потенциальная энергия деформации

Формула потенциальной энергии в произвольных
и главных осях
z
Элементарный параллелепипед dx, dy, dz;
Эквивалент механической энергии,
затрачиваемой на деформацию –
– работа внешних сил –
dz
y
F
x
1
A F
2
Δ
dy
dx

6. Потенциальная энергия деформации

Формула потенциальной энергии в произвольных
и главных осях
z
Элементарный параллелепипед dx, dy, dz
Эквивалент механической энергии,
затрачиваемой на деформацию –
σх
– работа внешних сил –
F
A
1
F
2
x
dy
σх
dz
y
dx
Δ
Напряжение
Сила
Перемещение
x
x dy dz
x dx
Работа
1
x dy dz x dx
2

7. Потенциальная энергия деформации

Формула потенциальной энергии в произвольных
и главных осях
τzy z
Элементарный параллелепипед dx, dy, dz
Эквивалент механической энергии,
затрачиваемой на деформацию –
– работа внешних сил –
z
τzy
σх
dz
σх
γ ·dz
y
dx · dy
F
x
γzy
1
A F
2
dy
dx
y
Δ
Напряжение
Сила
Перемещение
zy
zy dx dy
zy dz
Работа
1
zy dy dz zy dx
2

8. Потенциальная энергия деформации

Формула потенциальной энергии в произвольных
и главных осях
Элементарный параллелепипед dx, dy, dz
Напряжение
Сила
Перемещение
x
x dy dz
x dx
1
x dy dz x dx
2
zy dx dy
zy dz
1
zy dy dz zy dx
2
y
z
yz
zy
xz
Работа

9.

Формула потенциальной энергии в произвольных
и главных осях
Элементарный параллелепипед dx, dy, dz
Напряжение
Сила
Перемещение
Работа
1
x dy dz x dx
2
1
dx
dy
dz
xy dy dz xy dx
xy
xy
xy
2
Энергия деформации, накопленная в элементарном объеме
x
x dy dz
x dx
1
dU dy dz dx [( x x y y z z ) xy xy yz yz xz xz ]
2
Удельная потенциальная энергия деформации
1
U 0 [ x2 y2 z2 2 ( x y y z x z )]
2E
1 2
2
2
( xy yz
xz
)
2G

10.

Формула потенциальной энергии в произвольных
и главных осях
Удельная потенциальная энергия деформации
1
2
2
2
U 0 [ x y z 2 ( x y y z x z )]
2E
1 2
2
2
( xy yz
xz
)
– в произвольных осях.
2G
Удельная потенциальная энергия деформации
1
2
2
2
U 0 [ 1 2 3 2 ( 1 2 2 3 1 3 )]
2E
– в главных осях.

11. Деление потенциальной энергии на части, связанные с изменением объема и с изменением формы

• Среднее напряжение:
ср
x y z 1 2 3
3
3
• Представим напряженное
состояние в виде суммы:
1 0 0 cp 0 0 1 cp
0
0
0 2 0 0 cp 0 0
2 cp
0
0 0 3
0
0 cp
0
0
3 cp
е
и
е
и
н
н
е
е
н
н
е ы
е
м
м
а
з
з
м
И ъ ем
р
И
о
ф
об
Почему так названы?

12. Деление потенциальной энергии на части, связанные с изменением объема и с изменением формы

Среднее напряжение:
Представим напряженное
состояние в виде суммы:
ср
x y z 1 2 3
3
3
1 0 0 cp 0
0 1 cp
0
0
0 2 0 0 cp 0
0
2 cp
0
0 0 3
0
0 cp
0
0
3 cp
Изменение объема равно
1 2
3 cp
E
1 cp 2 cp 3 cp
1 2
E
=0

13. Деление потенциальной энергии на части, связанные с изменением объема и с изменением формы

Среднее напряжение:
Представим напряженное
состояние в виде суммы:
ср
x y z 1 2 3
3
3
Удельная потенциальная энергия деформации:
U 0 U 0об U 0формы
1 2
U 0 [ 1 22 32 2 ( 1 2 1 3 2 3 )]
2E
1 2 3 ср
об
U0
1 2
1 2
2
2
3 cp
( 1 3 2 )
2E
6E

14. Деление потенциальной энергии на части, связанные с изменением объема и с изменением формы

Среднее напряжение:
Представим напряженное
состояние в виде суммы:
ср
x y z 1 2 3
3
3
Удельная потенциальная энергия деформации:
U 0 U 0об U 0формы
1 2
U 0 [ 1 22 32 2 ( 1 2 1 3 2 3 )]
2E
1 2
1 2
U 0об
3 cp2
( 1 3 2 ) 2
2E
6E
U
Формы
0
U 0 U
об
0
1
[( 1 2 ) 2 ( 1 3 ) 2 ( 2 3 ) 2 ]
6E