Работа, мощность силы. Кинетическая энергия. Лекция 9

1.

Лекция 9.
Работа, мощность силы. Кинетическая
энергия. Теоремы об изменении
кинетической энергии для материальной
точки и системы. Пример решения задач
на использование теоремы об
изменении кинетической энергии
материальной точки.
Рекомендуемая литература
1. Лекции по теоретической механике [Электронный ресурс] : учебное пособие / Ю. В. Лоскутов ; М-во образования
и науки Рос. Федерации, ФГБОУ ВПО "Поволж. гос. технол. ун-т". - Йошкар-Ола : ПГТУ, 2015.
2. Соколов Г.М. Теоретическая механика: курс лекций. Ч.2 Динамика, 2011.
3. Лоскутов Ю.В., Журавлев Е.А., Кузовков С.Г. Теоретическая механика: учебное пособие, 2012.
0

2. Лекция 9

Работа, мощность силы. Кинетическая и потенциальная энергия – механическое движение в результате взаимодействия
механических систем может переноситься с одной механической системы на другую:
1.
- без превращений в другую форму движения, т.е. в качестве того же механического движения,
2.
- с превращением в другую форму движения материи (потенциальную энергию, теплоту, электрическую энергию и т.д.)
Каждый из этих случаев имеет свои измерители (меры) механического движения и механического взаимодействия, отстаиваемые в свое
время Декартом и Лейбницем (см. таблицу):
В настоящее время принят существование и равноправность
обоих (векторных и скалярных) мер движения, каждой
Мера механического движения
Мера механического
из которых соответствуют свои меры механического
взаимодействия
взаимодействия.
Декарт
Количество движения Q mv
Импульс силы S F dt
Импульс силы является мерой действия силы при
изменении механического движения.
Работа является количественной мерой превращения
mv 2 Работа силы
Лейбниц
Кинетическая энергия
A F ds
T
механического движения в какую-либо другую форму
2
движения материи.
Работа силы, приложенной к материальной точке – Пусть точка приложения переменной по величине и направлению силы
перемещается по некоторой произвольной траектории. На малом (элементарном) перемещении силу можно считать постоянной и
элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения (касательную к траектории движения),
умноженной на элементарное перемещение :
Знак элементарной работы определяется
d' A F ds F cos ds
d' A 0;
0 s
величиной угла и знаком cos :
2
ds
M
F
v
T
Поскольку часто более удобно работать с острыми углами, то в этом случае
используют острый угол и знак присваивают по следующему простому
правилу: если сила и перемещение совпадают по направлению,
то присваивается знак +, если противоположны по направлению, то знак .
Элементарная работа может быть записана в виде скалярного произведения:
Работа на конечном перемещении M M1 получается
суммированием или интегрированием:
A
d'
M1
A
A F ds
Частные случаи: 1. Сила постоянная по величине (F = const)
и направлению ( =const):
2. Сила постоянная по величине (F = const)
и параллельна перемещению ( =0):
d' A F dr
и в проекциях:
2
d ' A 0.
d' A Fx dx Fy dy Fz dz.
M1
M1
A Fx dx Fy dy Fz dz.
A F dr
M
M
M
M1
M1
M
M
A F cos ds F cos ds Fs cos .
A Fs.
3. Сила перпендикулярна перемещению:
A 0
1

3. Лекция 9 (продолжение – 9.2)

Можно доказать следующие теоремы и утверждения:
Работа равнодействующей на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на
M1
M1
M1
M1
том же перемещении:
A Ai
A R dr ( F1 F2 ...) dr F1 dr F2 dr ... A1 A1 ... Ai
M
M
M
M
■
Работа постоянной сил по величине и направлению на составном перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы
на каждом из составляющих перемещений:
A Asi
■
A F s F ( s1 s 2 ...) F s1 F s 2 ... As1 As 2 ... Asi
Работа внутренних сил неизменяемой системы равна нулю:
Ai 0
Ai
M1
(R R
M
■
'
) dr
M1
( R R ) dr 0;
( R ' R ).
M
Работа силы тяжести не зависит от вида траектории и равна произведению силы тяжести на разность высот:
M1
M1
M
M
A G( z1 z)
A Gx dx G y dy Gz dz ( G )dz Gz z1 G ( z1 z ); (Gx G y 0, Gz -G)
■
Работа линейной силы упругости (реакции пружины)
при перемещении из состояния равновесия:
z
Δx
A c
.
2
2
M1
M1
x2
A Rx dx ( cx)dx c
2
M
M
x1
x 0
x12
c ; ( Rx cx)
2
Работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси. Запишем выражение для
элементарной работы силы, приложенной к точке, и выразим элементарное перемещение через угол поворота тела:
z
d' A F ds F cos ds F cos R d Fh d M z ( F )d .
-работа силы, приложенной
к вращающемуся твердому
телу, выражается через
момент силы относительно
оси.
1
h
A M z ( F )d .
Работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу,
для конечного угла поворота:
ω
R
h
F
d
ds
R
В частном случае постоянного значения момента силы относительно оси
работа равна произведению момента силы на угол поворота:
F
A M z ( F )( 1 ).
Мощность – величина, характеризуемая количеством работы, произведенной в единицу времени:
T
d' A F ds
N
F v F v .
dt
dt
Мощность силы, приложенной к вращающемуся твердому телу:
d' A M z d
N
M z z M .
dt
dt
Мощность силы, приложенной к точке:
N
d' A
.
dt
2

4. Лекция 9 (продолжение – 9.3)

Кинетическая энергия – характеризует способность механического движения превращаться в эквивалентное количество другого
движения:
■
Кинетическая энергия
материальной точки:
mv2
T
2
■
Кинетическая энергия
системы материальных точек:
■
Кинетическая энергия твердого тела
при поступательном движении:
MvC2
T
2
■
Кинетическая энергия твердого тела
при вращательном движении:
I 2
T z z
2
■
Кинетическая энергия
твердого тела при плоском
движении:
T
MvC2 I zC z2
2
2
mk vk2 v 2
T
2
2
mk vk2
T
2
MvC2
v2
mk 2 M 2 ;
mk vk2
mk ( z hk ) 2 z2
T
2
2
2
(v1 v2 ... v vC )
I z z2
m h 2 ;
2
k k
( I z mk hk2 )
mk vk vk
m (v v ) (vC vkC ) MvC2
m v2
k C kC
vC mk vkC k kC .
2
2
2
2
2
dr
d
I zC z
vC mk kC vC ( mk rkC ) 0; ( mk rkC 0)
dt
dt
2
T
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки – Изменение кинетической энергии точки равно работе
сил, действующих на точку на том же перемещении:
Проинтегрируем полученное соотношение:
Запишем основной закон динамики точки:
ma F R
v
i
Выразим ускорение через скорость и умножим
dv
dr R dr
левую и правую части соотношения скалярно m
dt
на дифференциал радиуса-вектора :
или mv dv R dr .
A
v0
После подстановки пределов получаем:
mv2
v v
md
d
2
2
mv2 M
mv2
d
dA
;
2 M
2
0
dA
mv 2 mv02
A
2
2
Теорема об изменении кинетической энергии системы – Изменение кинетической энергии системы равно работе сил,
действующих на систему на соответствующих перемещениях точек системы:
Запишем теорему об изменении кинетической энергии для произвольной точки системы,
при этом выделим работу внешних и внутренних сил, приложенных к данной точке:
mk vk2 mvk20
Aki Ake .
2
2
mk vk2
mvk20
Aki Ake .
Просуммируем левые и правые части соотношений:
2
2
Для неизменяемой системы:
В левой части получили разность кинетических энергий системы:
T T0 Aki Ake .
T T0 Ake ;
A
i
k
0
3

5. Лекция 9 (продолжение – 9.4)

Пример решения задачи на применение теоремы об изменении кинетической энергии для материальной точки – Снаряд
массы m выбрасывается пружинным устройством из канала под углом к горизонту. Длина нерастянутой пружины жесткостью c
равна длине канала l0. Перед выстрелом пружина сжимается на величину d. Определить скорость снаряда при вылете из канала,
а также максимальную высоту полета.
Дано: , c, d, m, l0
Начальная скорость снаряда равна нулю: v0 0.
Найти: v1, H
Работа сил, приложенных к объекту, равна:
v2
1. Выбираем объект - снаряд
A AN AG AR .
v1
d
2.
Отбрасываем связи – ствол, пружину
Работа нормальной реакции равна нулю (направление
N
реакции перпендикулярно перемещению): AN 0.
R
3. Заменяем связи реакциями – N, R
G H
4. Добавляем активные силы – G
Работа силы тяжести:
AG G h mgd sin .
Работа упругой реакции пружины
(направление реакции совпадает
с перемещением):
mv12
Подставляем определенные
0 mgd sin
величины в теорему:
2
5. Записываем теорему об изменении
кинетической энергии для точки:
G
Определяем максимальную высоту полета
(повторяем шаги 1-5):
2
2
mv2 mv1
A
2
2
mv12 mv02
A
2
2
Отсюда величина скорости вылета снаряда:
Вертикальная скорость снаряда в наивысшей точке траектории равна нулю : v2 y 0.
v1
c
d2
,
2
d2
.
2
cd 2
2 gd sin .
m
Горизонтальная скорость снаряда постоянная (из закона
сохранения проекции на ось x количества движения точки)
и равна:
2
AG G h mg ( H l0 sin ).
cd 2
cd 2
Подставляем определенные
m
2 gd sin cos 2 m
2 gd sin
m
величины в теорему:
m
mg ( H l sin ).
0
2
2
После некоторых сокращений и
Отсюда максимальная
cd 2
(
gd sin ) sin 2 g ( H l0 sin ).
преобразований:
высота полета:
2m
Работа силы тяжести:
AR c
v2 x v1x
H (
cd
2 gd sin cos .
m
cd 2
d sin ) sin 2 l0 sin .
2mg
Заметим, что предыдущее выражение можно более быстро получить,
записывая теорему об изменении кинетической энергии только для
вертикальной скорости движения точки, поскольку горизонтальные силы
отсутствуют и горизонтальная скорость не изменяется..
4