Теория Пределов

1.

Теория пределов
http://www.ltk-college.ru/files/teor_pred.pdf

2.

План
1. Последовательности. Предел последовательности.
2. Функции. Предел функции.
3. Геометрический смысл предела. (самостоятельно
4. Бесконечно малые, бесконечно большие.
5. Основные неопределенности. Замечательные
пределы.

3.

Определение: Бесконечной числовой
последовательностью (или последовательностью)
называют бесконечное множество чисел (членов
последовательности), расположенных в
определенном порядке одно за другим и
построенных по
определенному правилу.

4.

Это правило удобнее задавать в
виде формулы для общего члена
последовательности
, выражающей
функциональную зависимость
от
целочисленного аргумента
, т.е.
Примеры:
1) Общий член
последовательность
определяет

5.

2) Общий член
определяет
последовательность членов геометрической
прогрессии со знаменателем
3) Общий член
последовательность
определяет

6.

Некоторые последовательности обладают
тем свойством, что члены ее по
роста
мере
номера n неограниченно
приближаются
к постоянному числу а.
Так, например, члены последовательностей
1 и 2 неограниченно приближаются к а = 0,
члены последовательности 3 приближаются
к а = 1.

7.

Определение:
Число в называется
пределом функции в точке а, если для
всех значений х, достаточно близких к а
и отличных от а, значение функции f(х)
сколь угодно мало отличается от в.
lim
x a
f x b

8.

Функция f(x) называется бесконечно малой
при х → а, если
lim f x 0
x a
Функция f(x) называется бесконечно большой
при х → а, если
lim f x
x a
lim f x
x a
или

9.

Основные теоремы о пределах
• Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности)
их пределов:
lim x x0 ( f ( x) g ( x)) lim x x0 f ( x) lim x x0 g ( x)
• Предел произведения двух функций равен произведению их
пределов:
lim x x0 ( f ( x) g ( x)) lim x x0 f ( x) lim x x0 g ( x)
• Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim x x0 с f ( x) с lim x x0 f ( x)
• Функция может иметь только один предел при x x
0

10.

Основные теоремы о пределах
• Предел степени с натуральным показателем равен той же
степени предела:
lim x x0 ( f ( x))n ( lim x x0 f ( x))n
• Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел
знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
lim x x0
f ( x) lim x x0 f ( x)
, (lim x x0 g ( x) 0)
g ( x) lim x x0 g ( x)

11.

Замечательные пределы
• I ЗП (первый замечательный предел)
sin x
lim x 0
1
x
• I I ЗП
(второй замечательный предел)
1 x
lim x (1 ) e
x
или
1
y
lim y 0 (1 y) e

12.

Функция f (x) называется непрерывной в
точке x = a, если предел функции при x→ a
равен значению функции при x = a:

13.

Функция f (x) называется непрерывной в точке
x = a, если она в этой точке определена и
бесконечно малому приращению аргумента
соответствует бесконечно малое значение
функции:

14.

Точки, в которых нарушается
непрерывность функции, называются
точками разрыва этой функции.

15.

Для элементарных функций справедливы
следующие положения:
область непрерывности элементарной
функции совпадает с её областью
определения, т.е. элементарная функция
непрерывна во всей области определения;
элементарная функция может иметь
разрыв только в отдельных точках
какого-либо промежутка, но не во всех
его точках;
элементарная функция может иметь
разрыв только в той точке, в которой
она не определена.

16.

17.

Вычисление пределов
lim f x A, a R
a D f
x a
a D f
Неопределенность
Непосредственное
вычисление
1
∞/∞
0/0
∞-∞, 0∙ ∞

18.

Неопределенность
0
0
Алгебраическое
преобразование
Умножение на
сопряженное
выражение
sin x
1 или
lim
x
x 0
lim
sin
0
Замена
переменной
1

19.

Неопределенность
∞/∞
Деление числителя и
знаменателя на х высших
степеней или замена х = 1 /а
∞-∞, 0∙ ∞
Путем
преобразований
приводятся к
виду 0/0
или ∞/∞

20.

Неопределенность
1
х
1
1 e
lim
х
x 0
1
lim
1
0
e

21.

Запомнить!
Необходимо помнить, что
C
0
C
0, , C ,
0, , 0 C C.
C
C
0
Более сложными случаями
нахождения
предела
являются
С=const (любое
постоянное
число)
точке x = a или при x→∞ представляет собой неопределенн
1 , 0 0 , 0 ).
При вычислении пределов при x основные теоремы
кроме того, используются правила:

22.

2x2 1
1) lim 2
;
x 3 x 4 x
Решение:
2x2 1
lim
2
x 3 x 4 x
2x2 1
2
2
2 0 2
x
x
lim 2
.
4x 3 0 3
x 3 x
2
2
x
x
Ответ: 2/3.

23.

5x3 7 x
2) lim
;
3
x 1 2 x
Решение:
5x 7 х
lim
3
x 1 2 x
3
5x3 7 х
3
3
5 0
5
x
x
lim
2,5
3
2x
0 2
2
x 1
3
3
x
x
Ответ: - 2,5.

24.

4) lim
x
2x2 1
;
2x 1
Решение:
lim
x
lim
x
2x2 1
lim
2x 1
x
2x2 1
2x2 1
lim
2
2
2 x 1 x 4 x 4 x 1
2x2 1
2
2
2 0
1
1
x
x
2
4x
4x 1
4 0 0
2
2
x2 x2 x2

25.

5) lim
x 0
1 x 1
;
x
Решение:
lim
x 0
1 x 1 0
1 x 1 1 x 1
lim
x
0 x 0
x
1 x 1
1 x 1
1 x 1
lim
lim
lim
x 1 x 1
x 1 x 1
2
x 0
2
x 0
x 0
1
1
1 x 1 2

26.

3
6) lim
x 1
x 1
;
x 1
Решение:
3
lim
x 1
x 1 0
x 1 0
x t6, x t3
3
t 2 1
lim 3
x 1 t 1
x t 2 , x 1, t 1
t 1 t 1
t 1
2
lim
lim 2
2
3
t 1 t 1 t t 1
t 1 t t 1

27.

1 cos 2 x
7) lim
;
2
x
x 0
Решение:
1 cos 2 x 0
2 sin x
sin x
lim
2 lim
lim
2
2
x
0 x 0
x
x
x 0
x 0
2 1 2
2
2

28.

1
x 2
8) lim
;
x
x
x
Решение:
x 2
2
1 lim 1
lim
x
x
x
x
x
x
2
2
e
2