Динамика вращательного движения. Работа при вращательном движении

1.

Работа при вращательном движении
Элементарная
работа
dA = Ft ds
ds = rdj
dA = Ft rdj

2.

dA = M z dj
Полная работа
A=
j2
ò
M z dj
j1
Если Mz = const., то
A = M z Dj

3.

Кинетическая энергия вращения
Для каждой МТ
dm 2
dWk =
v
2
dm × r w
dWk =
2
2
w
Wk = ò dWk =
2
2
r
dm
ò
2
2
Iw
Wk =
2
2

4.

Для катящегося тела
mv
ICw
Wk =
+
2
2
2
C
С
r
vC
W
2
пост .
k
W
вр
k

5.

Основной закон динамики
вращательного движения
Тангенциальная сила Ft , совершая
работу dA = Mzdφ увеличивает
кинетическую энергию тела на dWk.
M z dj = dWk

6.

Справа распишем
Iw
dWk = d (
) = Iw dw
2
2
Возьмем производную по времени
dj
dw
dj
Mz
= Iw
=I
e
dt
dt
dt

7.

Сократив на dj /dt, получим
основной закон динамики
вращательного движения:
M z = Ie

8.

r r
Если F = Ft , то справедлива
векторная форма:
r
r
M = Ie
Этот закон вращательного
движения аналогичен II-му
закону Ньютона для
поступательного движения.

9.

Физический смысл момента
инерции: если на тела, обладающие
разными моментами инерции
подействовать одним и тем же
моментом силы, то тело, обладающее
большим моментом инерции, получит
меньшее угловое ускорение.
Момент инерции есть мера инертности
тела для вращательного движения.

10.

Уравнение моментов
Момент импульса твердого тела
Lz = I zw
Возьмем производную по времени:
dLz
dw
= Iz
= I ze = M z
dt
dt

11.

dLz
= Mz
dt
&
или Lz = M z
В векторной форме:
r
dL r
=M
dt

12.

Закон сохранения момента импульса
Рассмотрим замкнутую систему тел.
Сумма моментов внешних сил равна нулю.
r
f 21
r
p2
1
2
r
f12
r
p1
r
r
f12 и f 21 - силы взаимодействия

13.

r
r
r
r
r
dL1
dL2 r
M 12 =
, M 21 =
, M 12 = - M 21
dt
dt
Полный момент импульса системы тел
r r r
L = L1 + L2
r
r r
r
dL d ( L1 + L2 ) r
=
= M 12 + M 21 = 0
dt
dt

14.

В замкнутой системе тел полный
момент импульса сохраняется.
r
r
dL
= 0 или L = const .
dt

15.

Свободные и главные оси вращения
Ось вращения, положение которой в
пространстве остается неизменным в
отсутствие внешних сил, называется
свободной осью тела.

16.

Для любого тела существуют три
взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр инерции оси,
которые могут служить свободными
осями. Их называют
главными осями инерции.
Моменты инерции относительно
главных осей называют
главными моментами инерции .

17.

I1 ¹ I 2 ¹ I 3
I2 = I3
Симметричный
волчок
I1 = I 2 = I 3
Шаровой
волчок

18.

Гироскопы
Гироскоп - это
массивное
симметричное тело,
вращающееся с
большой угловой
скоростью вокруг оси
симметрии.

19.

Гироскопический эффект
r
r
L = Iw
r
r dL
M=
dt
r r
dL = Mdt

20.

Движение оси, вдоль которой
направлен момент импульса
гироскопа, под действием
внешних сил, называют
прецессией.

21.

Прецессия гироскопа под действием
силы тяжести.
r
dL
dj =
L
r
dL = Mdt
Mdt
dj =
L
dj M
w =
=
dt
L
w - угловая скорость прецессии гироскопа

22.

r
r r
M = w , L
M = w L sin
M = mg l = mg l sin
w L sin = mg l sin
mg l
w =
L