Теория поверхностей. Длина дуги на поверхности. Первая квадратичная форма

1. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Длина дуги линии на
поверхности. Первая
квадратичная форма
поверхности.

2. Длина дуги на поверхности. Первая квадратичная форма поверхности

Кривая лежит на поверхности
r r (u, v). ds | dr |, ds 2 dr 2
dr ru du rv dv
(8)
Возведем обе части формулы (8) в квадрат:
2
2
ds 2 ru du 2 2ru rv dudv rv dv 2 ,
и введем обозначения:
ru2 E(u, v)
ru rv F (u, v)
rv G(u, v)
2
ds 2 Edu 2 2Fdudv Gdv2
(9) – первая квадратичная форма поверхности.
(9)

3. Длина дуги на поверхности. Первая квадратичная форма поверхности

Длина дуги кривой на поверхности от точки с параметром t1 до
точки с параметром t2:
t2
S12 Edu 2 2 Fdudv Gdv 2
(10)
t1
Пусть u u (t ), v v(t ), тогда du u dt , dv v dt
t2
S12 Eu 2 2 Fu v Gv 2 dt
(10’)
t1
1 Edu 2 2 Fdudv Gdv 2
1 ds 2 .
(9’)

4. Угол между двумя кривыми на поверхности

Определение: углом между двумя кривыми на поверхности
называется угол между касательными к этим
кривым, проведенными в точке их пересечения.
Пусть поверхность задана: r r (u, v) на ней даны 2 кривые
dr ru du rv dv -бесконечно малый касательный вектор вдоль
одной кривой на поверхности,
r ru u rv v - бесконечно малый касательный вектор вдоль
другой кривой (оба вектора рассматриваются в точке пересечения
кривых).
Эти векторы отличаются друг от друга отношениями
дифференциалов от криволинейных координат
dr r
Edu u F (du v udv) Gdv v
cos
(11)
2
2
2
2
| dr | | r |
Edu 2 Fdudv Gdv E u 2 F u v G v

5. Угол между двумя кривыми на поверхности

Рассмотрим cos угла между координатными линиями (cos ω):
1. v const
dv 0, du 0
2. u const
v 0, u 0
cos
F vdu
Edu
2
G v
2
F
EG
(12)

6. Площадь области на поверхности

English Русский Правила