Похожие презентации:
Квазиклассическая теория динамики электрона. Кинетическая теория Больцмана
1. Квазиклассическая теория динамики электрона. Кинетическая теория Больцмана
2.
Огибающая слабо меняется на характерных макроскопических размерах идлина волны деБройля меньше характерного размера. Тогда из функций Блоха
можно сформировать волновой пакет с хорошо определенным
квазиимпульсом, локализованный на длинах, существенно меньших
характерных размеров, и который не успевает размываться на характерных
длинах. Тогда динамику электронов можно рассматривать как динамику
центров этих волновых пакетов. Центры волновых пакетов движутся также как
и классические частицы с функцией Гамильтона, которая получается заменой
оператора импульса на импульс.
Таким образом, мы можем рассматривать электроны как классические частицы
с функцией Гамильтона
H (r, p) E (p) Vext (r ) Hˆ E (pˆ ) Vext (r )
pˆ p
Уравнения Гамильтона
dr H E (p)
dt p
p
dp
H
Vext (r ) Fext
dt
r
v (p)
3.
Электрон в постоянном однородном электрическом поле. Осцилляции Блоха.dp
eF p p 0 eFt
dt
E (p) E (p G ) энергия осциллирует
dE E dp
1 dE
v eF v
dt p dt
eF dt
dx
dx
1 dE
v
dt
dt
eF dt
E (p 0 eFt )
-Электрон осциллирует в реальном пространстве
x(t ) x0
eF
=> в идеальном кристалле нет тока
Амплитуда осцилляций
xmax
x
max
1
eF
a
eFa
Период осцилляций
eF Lз. Б .
рел
Lз. Б . / a
eFa
- В реальных кристаллах осцилляции не
наблюдаются
4.
Fтр v, 0m v eF v
1
eF
1
v v ;
m
m
v0, 0 C exp( t / )
1
eF
eF
vч , н const v v
m
m
eF
v(t ) C exp( t / )
m
eF
v(0) 0 v(t ) 1 exp( t / )
m
e
v (t ) F - Сопротивление (рассеяние) приводит к установлению
m направленного движения
e 2 n
j evn F - Формула Друде
m
5.
Огибающая медленно изменяется на характерных размерах => можно перейти кквазиклассическому описанию => электроны рассматриваем как классические
частицы с функцией Гамильтона
H (r, p) E (p) Vext (r )
E (p) - блоховский закон дисперсии
Vext (r ) - потенциальная энергия во внешнем поле
dr H E (p)
v (p)
- Скорость движения в реальном пространстве
dt p
p
dp
H
Vext (r ) Fext - уравнение движения (определяет закон
изменения квазиимпульса)
dt
r
Соотношение неопределенности Гейзенберга => механическое состояние
определено с точностью до ячейки фазового пространства 2 3
Принцип Паули => в ячейке может находиться только один электрон с данной
проекцией спина
6.
f (r, p, s z )- Одноэлектронная функция распределения – вероятность
нахождения электрона с проекцией спина sz в ячейке (r,p) фазового
пространства (среднее число электронов с данной проекцией спина
в данной ячейке фазового пространства)
Концентрация электронов
Разбиваем фазовое пространство на физически бесконечно малые объемы drdp
(с одной стороны попадает много ячеек и можно пользоваться статистическими
метолами, с другой стороны – все характеристики внутри объема можно считать
постоянными)
drdp
2 3
- Число ячеек в объеме drdp
dN (r, p)
s z 1 / 2
f (r, p, s z )
N dN (r, p) dr
V
n(r )
V
зоне Б . s z 1 / 2
drdp
2 3
зоне Б . s z 1 / 2
- число частиц в элементарном объеме (r,p)
f (r, p, s z )
dp
f (r, p, s z )
2 3
dp
2 3
- концентрация
- Число частиц в объеме
V реального
пространства
7.
Плотность электрического токаdN (r, p)
dV
dp
f (r, p, s z )
2 3
dj(r, p) ev(p)
ev (p)
s z 1 / 2
j(r )
dj(r, p) e
зоне Б .
v(p)
зоне Б .
- Вклад в плотность тока электронов из
элементарного объема (r,p) фазового пространства
s z 1 / 2
f (r, p, s z )
Плотность потока энергии
e H (r, p)
I (r )
зоне Б .
H (r, p) v(p)
s z 1 / 2
f (r, p, s z )
dp
2 3
dp
- Плотность электрического тока
2 3
8.
Кинетическое уравнение БольцманаОпределяет одночастичную функцию распределения
По сути – уравнение непрерывности в одночастичном фазовом пространстве.
Каждый электрон в каждый момент времени изображается точкой фазового
пространства. Движение электронов в реальном пространстве описывается
уравнениями Гамильтона
H
H
; p
r
r
p
- Также описывают движение изображающих точек
в фазовом пространстве
Вместо реальных электронов в реальном пространстве можно рассмотреть
движение изображающих точек в фазовом пространстве – эффективных 6D
электронов
( x, y , z , p x , p y , p z )
( x, y , z , p x , p y , p z )
f (r, p)
- координаты 6D электронов
- Скорости 6D электронов
- плотность 6D электронов в фазовом пространстве
9.
Число электронов сохраняется => можно написать уравнение непрерывности(математическая запись закона сохранения числа электронов)
3
f
t i 1 xi
f xi
f pi 0
p
i
p
f
f
f
x
i
i
0
xi
pi f
xi
t i 1 xi
pi
xi
3
xi
H
xi
H
pi
xi xi pi
pi
pi
H
H
xi
pi
pi xi
p
xi
i
xi
pi
3
f
f f
df
xi
pi 0
0
t i 1 xi
pi
dt
f f f
r p 0
t r
p
E
f
f
f
r v(p)
v (p) Fext
0
p
t
r
p
p Fext
10.
ff
f
df
v (p) Fext
0
0
t
r
p
dt
f
t
- Обусловлен временной неоднородностью в системе (изменением внешних
условий, перераспределением зарядов и энергии и т.п. )
f
v (p)
r
f
Fext
p
- Дрейфовый член (отвечает за дрейф, вызваный пространственной
неоднородностью в системе – градиентом концентрации,
температуры и т.п.)
- полевой член (отвечает за ускорение электронов во внешних полях)
11.
Учет рассеянияdf
J ст (r, p)
dt
dN прих dN уход - Интеграл столкновений – обусловленное
J ст (r, p)
рассеянием изменение среднего числа частиц
dt
dt
в ячейке (r,p)
Нужно ли учитывать изменение координаты при рассеянии?
Квант. мех-ка. – Не имеет смысла. Рассеяние – скачкообразных переход из одного
состояния в другое
Класс.мех-ка.- Нет смысла. Силы быстро убывают при удалении от рассеивателя
=> Рассеяние происходит в столь малом объеме, что нет смысла говорить об
изменении координат.
При рассеянии изменяется квазиимпульс, но не изменяется координата.
Рассеяние – скачок между ячейками (r,p) и (r,p’) c одним и тем же r
12.
W (p, p )- Вероятность в единицу времени рассеяния p→p’
W (p, p ) f (p) 1 f (p )
- Среднее число в единицу времени актов рассеяния
p→p’
Среднее число электр., рассеивающихся в ед. времени из ячейки (r,p)
dN уход
dt
dp
W (p, p ) f (p) 1 f (p )
3
зоне Б . 2
Среднее число электр., рассеивающихся в ед. времени в ячейку (r,p)
dN приход
dt
J cт
dp
W (p , p) f (p ) 1 f (p)
3
зоне Б . 2
dp
2 W (p , p) f (p ) 1 f (p) W (p , p) f (p ) 1 f (p)
3
зоне Б .
13.
Принцип детального равновесияf
f
f
v (p) Fext
J ст (r, p)
t
r
p
В равновесии
f (r, p)
1
1
H (r, p)
E (p) V (r )
exp
1 exp
1
T
T
f
0
t
E (p) V (r )
exp
f
T
V (r )
r E (p) V (r ) 2
r
1
exp
T
E (p) V (r )
exp
T
F
2 ext
E (p) V (r )
1
exp
T
E (p) V (r )
E (p) V (r )
exp
exp
E (p)
f
T
T
v (p)
2
2
p
E (p) V (r ) p
E (p) V (r )
1
1
exp
exp
T
T
f
f
v (p) Fext
0 J ст (r, p) 0
r
p
14.
dpdp
W
(
p
,
p
)
f
(
p
)
1
f
(
p
)
W (p , p) f (p ) 1 f (p)
3
3
зоне Б . 2
зоне Б . 2
W (p, p ) f (p) 1 f (p ) W (p , p) f (p ) 1 f (p)
Поток из ячейки (r,p) в ячейку (r,p’) уравновешивается обратным потоком
f (r, p)
1
W (p, p ) f (p) 1 f (p ) W (p , p) f (p ) 1 f (p)
E (p) V (r )
exp
1
T
W (p , p)
E (p ) E (p)
exp
W (p, p )
T
1) упругое рассеяние E (p ) E (p) W (p , p) W (p, p )
2) неупругое рассеяние E (p ) E (p) W (p , p) W (p, p )
Более вероятен процесс с уменьшением энергии => релаксация
15.
Двухчастичное рассеяниеJ cт
dp1 dp 2 dp1
W (p1 , p 2 ; p1 , p) f (p1 ) f (p 2 ) 1 f (p1 ) 1 f (p)
9
2
зоне Б .
dp1 dp 2 dp1
W (p1 , p; p1 , p 2 ) f (p1 ) f (p) 1 f (p1 ) f (p1 ) 1 f (p 2 )
9
2
зоне Б .
Условия применимости уравнения Больцмана
1) Используется концепция ферми-газа: пренебрегается корреляциями между
электронами и вводится одноэлектронная функция распределения.
Электрон-электронное взаимодействие трактуется как рассеяние.
2) Уравнение Больцмана – продукт квазиклассической теории.
16.
Малые отклонения от равновесияПриложив внешний потенциал, создав градиент температуры или концентрации
мы выводим систему из равновесия. При этом уровень Ферми (химический
потенциал) и температура становятся зависящими от координаты. Запишем
функцию распределения в виде
f (r, p) f 0 (r, p) f1 (r, p)
1
f 0 (r, p)
- Функция Ферми с зависящими от
(p) e (r ) F (r )
1 координат хим. потенциалом F(r) и
exp
T (r )
температурой T(r)
f1 - Новая функция, которую нужно определять из кинетического уравнения
dp
dp
dp
j 2e
v
(
p
)
f
(
p
)
2
e
v
(
p
)
f
(
p
)
2
e
v (p) f1 (p)
0
3
3
3
2
2
2
(p)
p v ( p) v (p)
( p) (p)
v (p)
v ( p) v (p)
f 0 ( p) f 0 (p)
dp
v (p) f 0 (p) 0
3
2
17.
dpv(p) f1 (p)
3
2
dp
dp
dp
I 2
v
(
p
)
H
(
p
)
f
(
p
)
2
v
(
p
)
H
(
p
)
f
(
p
)
2
v(p) H (p) f1 (p)
0
3
3
3
2
2
2
j 2e
(p)
v( p) v(p)
dp
p
v (p) H (p) f 0 (p) 0
3
H ( p, r ) H (p, r )
2
E ( p) E (p)
v (p)
I
dp
v (p) H (p) f1 (p)
3
2
Кинетические характеристики опредляются поправкой f1
18.
j 2edp
dp
v
(
p
)
f
(
p
)
;
I
1
2 3 v(p) H (p) f1 (p)
2 3
Во многих важных для практики случаях кинетические характеристики j,I имеют
локальный пространственно-временной характер – их значения в данный
момент времени и в данной точке пространства определяются значениями
внешних полей, ▼T и ▼n в данный момент времени в данной точке
пространства. Кроме того, характер зависимости j,I от внешних полей, ▼T и
▼n оказывается линейным. В этом случае можно считать, что добавка f1(r,t)
линейно зависит от внешних полей, ▼T и ▼n в момент времени t в точке r –
локально-линейное приближение.
Для того, чтобы локально-линейное приближение было справедливо нужно:
1) На длине свободного пробега и за время свободного пробега внешних полей,
▼T и ▼n менялись слабо (изменение было существенно меньше самих
значений)
2) Длина и время, на котором электрон приобретает существенную энергию
(порядка Т)>> длины и времени свободного пробега
19.
ff
e
f
v eE v, H
J [ f ];
t
r
c
p
1
f f 0 f1 ; f 0
(p) e (r ) F (r )
1
exp
T
(
r
)
v
f 0
e
f
e
f f
f
eE v, H 0 1 v 1 eE v, H 1 J [ f ]
r
c
r
c
p t
p
(p) e (r ) F (r ) f 0
f 0 f 0
T
r
T (r )
(p) e F
e
F
T
T
f 0 f 0
f
(p) v 0
p
f 0
f
f
(p) e F
eE 0 0 e v Fv
Tv eEv
r
p
T
f
(p) e F
0 v F
v T
- линеен по градиентам
T
v
Отбрасываем
f1
f
e
f
v 1 eE v, H 1 - более высокий порядок
t
r
c
p малости
20.
f 0f
f
e
e f 0
v 0 v, H 0
v v, H 0
p
c
p c
Магнитное поле само по себе не нарушает равновесие. Чтобы сохранить
информацию о магнитном поле нужно в магнитном члене оставлять поправку f1
f1 f 0
(p) e F
f1 e
f1
v
F
v
T
v
v
,
H
J[ f ]
t
T
r
c
p
1
E F
- играет роль электрического поля (учитывает как внешнее
e
электрическое поле, так и электрическое поле, обусловленное
перераспределением носителей заряда)
T 0 j F
F 0
T 0
j 0
- равновесие
Условие равновесия
21.
Интеграл столкновений для упругого рассеяния. Время релаксацииимпульса (транспортное время релаксации)
Кин. ур. Больцмана остается интегро-дифференциальное уравнением даже в
локально-линейном приближении. «Точное» решение сопряжено с
математическими трудностями. => Нужно искать приближения
1) Часто можно пренебречь вероятностью изменения спина при рассеянии, а
также различием в вероятностях рассеяния электронов с разными
значениями проекции спина. В такой ситуации можно рассматривать только
частицы с одной проекцией спина. Учет двух возможных направлений спина
сводится к умножению соответствующих величин на 2.
2) Часто рассеяние носит практически упругий характер. Масса структурных
дефектов (примесей, дислокаций и т.п.)>>массы электонов => при рассеянии
на структурных дефектах может сильно измениться импульс, а изменение
энергии – мало (для большинства электронов существенно меньше самой
энергии). При рассеянии на LA-фононах изменение энергии электрона
порядка (m/M)1/2 . Поэтому при вычислении вероятности рассеяние на
длиноволновых акустических фононах можно рассматривать как упругое.
22.
Часто при вычислении вероятностей все процессы рассеяния можно считатьупругими. Это приближение – изменение энергии при рассеянии должно
происходить существенно медленнее изменения импульса. В этом случае при
вычислении интеграла столкновений можно рассматривать только упругие
процессы рассеяния. Релаксация энергии будет проявляться в том, что f1 - малая
поправка к f0
W (p , p)
E (p ) E (p)
exp
T
W (p, p )
упругое рассеяние E (p ) E (p) W (p , p) W (p, p )
dp
W (p , p) f (p ) 1 f (p) W (p, p ) f (p) 1 f (p )
J
3
2
Принцип детального равновесия
dp
W (p , p) f (p ) f (p ) f (p ) f (p) f (p) f (p) f (p )
3
2
Упругость рассеяния J
dp
W (p , p) f (p ) f (p)
3
2
Линеен по функции распределения (как если бы не было принципа Паули)
23.
1) Носители заряда в постоянном и однородном электрическом полеp, E векторы
f1 p E ( (p))
f1 скаляр
( (p)) - неизвестная функция, подлежащая определению
2) Носители заряда в постоянном и однородном температурном поле
p, T , E векторы
f1 p T 1 ( (p)) p E 2 ( (p))
f1 скаляр
1 ( (p)), 2 ( (p)) - неизвестные функции, подлежащие определению
3) Носители заряда в постоянных и однородных электрическом и магнитном полях
p, E, E, H , EH H векторы
f1 p E 2 ( (p)) p E, H 2 ( (p)) p H EH 3 ( (p))
f1 скаляр
1 ( (p)), 2 ( (p)), 3 ( (p)) - неизвестные функции, подлежащие определению
В общем случае (когда есть и электрическое, и магнитное поле и градиент
температуры)
f1 p ξ ( (p))
ξ ( (p)) - Линейная комбинация векторов, характеризующих внешнее воздействие
24.
dpJ
W (p , p) f (p ) f (p)
3
2
f f 0 (p) f1 ;
1
; f1 pξ ( (p))
(p) e F
exp
1
T
(p) (p ) f 0 (p ) f 0 (p) 0
f 0 (p ) f 0 (p) p ξ( (p)) pξ( (p)) ξ ( (p)) p p
f0
p
p
ξ ( (p)) p 1 f1 (p) 1 ;
p
p
p - проекция p на ξ
dp
p
J
W (p , p) 1 f1 (p)
3
2
p
p - время релаксации импульса
f1 (p)
1
dp
J
;
W (p , p) 1
3
p p
2
p (транспортное время
релаксации)
25.
Пример. Электропроводность в однородном образце при наличии толькопостоянного и однородного электрического поля
поле стационарное
образец однородный
f
0и
t
f
0
r
f 0
f
f (p)
1
f1 (p) e (p)E 0
p
(p)
p
f 0
f
f
v 0 f1 (p) e (p)Ev (p) 0
p
eE
f 0
2e
2e 2
j
d
pv
(
p
)
f
(
p
)
d
p
(
p
)
v Ev
1
3
3
2
2
2e 2
f 0
f 0
2e 2
j
d
p
(
p
)
v
Ev
d
p
(
p
)
v
v
E
3
3
2
2
f 0
2e 2
j , E ; ,
d
p
(
p
)
v v - тензор электропроводности
3
2
Нет рассеяния 0 j 0
определяет направленный перенос электронов => транспортное время
26.
Почему время релаксации?Однородный образец вывели из равновесия электрическим полем, и в момент
t=0 поле выключили. За какое время установится равновесие равновесие?
f1
f
t
1 f1 (t ) f1 (0) exp
t
p (t )
- время релаксации
Vdp
t
p
f
exp
- время релаксации импульса
1
3
2
27.
Изотропные невырожденные изоэнергетические поверхности (полезно длякачественных оценок и оценок по порядку величины)
( p) p p( )
Рассеяние упругое W (p, p ) S (p, p ) ( p ) ( p)
S (p, p ) скаляр
S может зависеть только от скалярных комбинаций
p и p’
p, p векторы
p, p , p p pp cos , ( p), ( p ) - независимые скалярные
комбинаций p и p’
Рассеяние происходит в пределах одной изоэнергетической поверхности =>
p=p’=>остается только две независимые скалярные комбинации.
S (p, p ) S ( p), cos
p
dp
S ( p), cos ( p ) ( p) 1
3
2
p
1
28.
Будем сначала интегрировать по изоэнергетическим поверхностям, а потом по Еdp dSd ,
d n p (p) d , n
n p (p) p (p) d
v p ( p )
d
d
v
p E (p)
p
( p )
d ( p ) p
d ( p )
e
e
e
p
dp
p
dp
p
d ( p ) p
d ( p )
v v ( p )
dp p
dp
p 2 sin d d d
dS p sin d d dp dSd
v( )
2
p
p cos p , ξ
dp
1
p 2
W
(
p
,
p
)
1
sin
d
d
d
S
(
,
cos
)
1 p cos p, ξ
3
v( )
2 3
p 2
p cos p , ξ
1
p 2
sin
d
d
S
(
,
cos
)
1 p cos p, ξ
v( )
2 3
1
29.
cos p , ξ1 p 2
S ( , cos ) sin d d 1
3
2 v( )
cos
p
,
ξ
1
образующая ось ССК по p
, угловые координаты p
, угловые координаты p
cos p, ξ сos ; cos p , ξ cos cos sin sin cos
2
2
cos p , ξ
0 d cos 0 0 d 1 cos p, ξ 2 1 cos
1
1 p 2
S ( , cos ) d sin 1 cos
3
2 v( )
30.
Потоки, создаваемые электронами вблизи потолка валентной зоны.Концепциядырок.
j(r ) e
v (p)
зоне Б .
2e
v (p)
зоне Б .
s z 1 / 2
f (r, p, s z )
dp
dp
e
v
(
p
)
1
1
f
(
r
,
p
,
s
)
z
3
3
2
2
s z 1 / 2
зоне Б .
dp
dp
e
v
(
p
)
1
f
(
r
,
p
,
s
)
z
2 3 зоне Б . sz
2 3
1 / 2
E (p)
dp
p v ( p) v (p) e v (p)
0
3
2
зоне Б .
E ( p) E (p)
v (p)
j(r ) e
v (p)
зоне Б .
I (r )
зоне Б .
z
H (r, p)
зоне Б .
2e
dp
1
f
(
r
,
p
,
s
)
z
2 3
s 1 / 2
H (r, p)
s z 1 / 2
f (r, p, s z )
dp
dp
H
(
r
,
p
)
1
1
f
(
r
,
p
,
s
)
z
3
3
2 зоне Б .
2
s z 1 / 2
dp
dp
H
(
r
,
p
)
1
f
(
r
,
p
,
s
)
z
2 3 зоне Б .
2 3
s z 1 / 2
H (r, p) H (r, p) 2e
зоне Б .
H (r, p)
dp
0
3
2
31.
dpj(r ) e v (p) 1 f (r, p, s z )
3
2
s z 1 / 2
зоне Б .
dp
I (r ) H (r, p) 1 f (r, p, s z )
3
2
s z 1 / 2
зоне Б .
- вероятность того, что в ячейке (r,p) нет электрона с
1 f (r, p, sz ) проекцией
спина s
z
Поток заряда и энергии такой, как если бы он создавался положительными
частицами с зарядом е и энергией – Н(r,p), которые движутся в реальном
пространстве со скоростью v(p), и которые распределены в пространстве также
как и пустые места, незанятые электронами. Эти квазичастицы – дырки.
Вместо газа электронов можно рассматривать газ дырок. С точки зрения явлений
переноса электронный и дырочный языки полностью эквивалентны – приводят к
одним и тем же значениям потоков
32.
Диффузионный и дрейфовый токи. Соотношения ЭйнштейнаНа однородный образец наложили электрическое поле – возник направленный
поток электронов – дрейфовый ток
jn ,др env др
где , подвижности
В локально линейном приближении vдр, , E -,тензор
j
n ,др
en , E
Если распределение электронов неоднородно, то возникает дрейфовый ток
jn ,диф env диф
n
1
, где D ,
В локально линейном приближении vдиф, D ,
x
n
j
n ,дрейф
e D ,
n
x
Частицы дифундируют туда,где их меньше v диф n
33.
Полный ток в неоднородном образцеа ) электронов
jn , jn ,др jn ,диф en n , E e Dn ,
n
x
б )дырок
j p , j p ,др j p ,диф ep p , E e D p ,
p
x
Тензор диффузии и дрейфа – оба определяются рассеянием => между ними
существует связь Надо ее найти.
34.
В равновесииjn 0
en n E eDn n 0 Для простоты рассматриваем изотропную среду с
кубической симметрией. μ – абсолютная величина
подвижности
1
2
1
2
;
dp
dp
n(r )
3
3
F
)
p
(
F
)
r
(
e
)
p
(
2
2
1
exp
exp
1
T
T
e (r )
T
e dn
dn e
dn
E
(r )
n
T d
d T
d
e d ln n
e dn
e dn
E 0 n n Dn
n n Dn
0 n
Dn T d
T d
T d
35.
jp 0en p E eD p p 0
2
1
p(r )
dp 1
3
2
exp (p) e (r ) F
T
2
1
e (r )
dp
;
3
T
(p) F
2
exp
T
dp
dp e
e dp
p
(r )
E
d
d T
T d
p
e dn
e dn
e d ln p
n p D p
E 0 n p D p
0
T d
T d
Dp
T dp
36.
В произвольном случаеn ,
Dn ,
e d ln n
;
T d
D
p ,
p ,
e d ln n
T d
Нет равновесия, и по системе течет ток. Пренебрегаем f1, и в качестве функции
распределения берем функцию Ферми с химическим потенциалом зависящим от
координат
2
1
2
1
d
p
d
p
;
2 3 exp (p) e (r ) F (r) 1 2 3 exp (p) 1
T
T
e (r ) F (r )
T
n(r )
Зависимость концентрации от ξ такая же как и в равновесии
d ln n Т n
d
e Dn
n
dn
d ln n eE F
1
n
n n eE F
d
d
T
eDn
jn en n E eDn n n n eE eE F n n F
j p p p F