Предел функции. Урок 3

1. Предел функции

2. Предел числовой последовательности

1
an
n
1
lim 0
n n
lim a n A
n
Предел функции в точке (по Коши)
lim f ( x) А
x x0

3. Бесконечные пределы

у
А
lim f ( x) А
x
y=f(x)
х
у
А
y=f(x)
lim f ( x) А
х
x

4.

y
lim f ( x)
x x0
y=f(x)
x0
x

5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

lim x
2
x
lim x 0
2
x 0
у
lim x 1
2
y=x²
x 1
х
0

6. Свойства бесконечно малых функций

1. 0 0 0.
2. 0 0 0.
3. 0 C 0.
4. 0 (ограниченная функция) 0.
0
5. 0.
0
0
?
0

7. Свойства бесконечно больших функций

1. ( ) ( ) .
2. ( ) ( ) .
3. (ограниченная функция) .
4. .
5. 0 .
6.
.
?.

8.

• Теорема об арифметике
lim f ( x)
lim g ( x)
x x0
x x0
lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
x x0
x x0
x x0
lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
x x0
x x0
lim f ( x)
f ( x ) x x0
lim
x x0 g ( x )
lim g ( x)
x x0
, при условии lim g ( x) 0.
x x0
x x0
Пример:
x 2
3
x 1 x 2 5 x 1
5
lim
f ( x) x
g ( x) x 1
lim ( f ( x) g ( x)) lim 1 1
x
x

9. Замечательные пределы

sin x
1
x 0
x
Первый замечательный предел
Следствия:
x
lim
1,
x 0 sin x
lim
x
1.
x 0 tgx
tg x
lim
1,
x 0 x
lim
• Числовая последовательность
имеет конечный предел, равный е: a n 1 1
n
Второй замечательный предел. lim 1 1 e
n
Следствия: x
1
lim 1 e,
x
x
1
lim (1 ) e.
0
n
n
n

10. Примеры решений предела

10

11. Примеры решений предела

11

12. Примеры решений предела

12

13. Примеры решений предела

13

14. Примеры решений предела

14

15. Примеры решений предела

15

16. Примеры для самостоятельного решения

Найти пределы 1. lim
2x 4
5.
x 3 x 2 3
2
x 2 x 2
2. lim
6.
2
3. lim
x 2
4
lim
3x 7 x 2
x2 4
.
3x 2 4 x 5
x 7 x 2 8 x 1
7.