Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1.

Российский химико-технологический университет
им. Д. И. Менделеева
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Линейная алгебра и
аналитическая геометрия
Лекция 3. Векторное произведение двух
векторов, смешанное произведение трех
векторов, их свойства и формулы для
вычисления. Компланарность.
Геометрические приложения.

2.

План лекции
1. Векторное произведение двух
векторов.
2. Смешанное произведение векторов.
3. Решение задач.

3.

Правая и левая тройка
Определение. Упорядоченная тройка
некомпланарных векторов называется правой
тройкой, если из конца третьего вектора
кратчайший поворот от первого ко второму
виден против часовой стрелки. В противном
случае она называется левой тройкой.
Замечание. При перестановке в упорядоченной тройке двух
любых векторов тройка меняет ориентацию на
противоположную.

4.

Векторное произведение
r r
а b
Определение. Векторным произведением
r
r
r
неколлинеарных векторов а и b называется вектор c , такой,
что:
r
r r
r r
1. с а b sin a ; b ;
r r
r r
2. c a и c b ;
r
r r
r
3. вектор c направлен так, что векторы а , b и c в указанном
порядке образуют правую тройку.
r
r
Замечание. В случае, если векторы
r а и b коллинеарны, то их
векторное произведение равно 0 .

5.

Векторное произведение
Свойства векторного произведения
r r
r r r r
1. а , b : а b b аr (антикоммутативность).
r
r
r r r r
2. а : а а 0 .
3.
r
r
r
а , b : а b b а
r r
r r
r r r
r
r r
" а , b , с ; " a , b О R : (a Ча + b Чb )ґ с = a Ч(а ґ с ) + b Ч(b ґ с )
(линейность).

6.

Векторное произведение
r r r
Теорема. Пусть е1 , е2 , е3 – правый
ортонормированный базис, иrв этом базисе
r
r
r
r
r
r
r
а а1е1 а2е2 а3е3
b b1е1 b2е2 b3е3 .
и
Тогда векторное произведение
вычисляется
по следующей формуле:
r r r
r r е1 е2 е3
а b а1 а2 а3
b1 b2 b3

7.

Векторное произведение
Доказательство. Так как