Непрерывность функции на отрезке

1.

Функция y=f(x)называется непрерывной
на промежутке Х, если она непрерывна
в каждой точке этого промежутка.

2.

Доказать непрерывность функции
y=cos x
на всей числовой оси.

3.

Найдем предел
lim y lim cos( x x) cos x
x 0
x 0
Используем формулу разности косинусов:
2 x x
x
lim cos
sin
0
x 0
2
2

4.

Поскольку:
2 x x
cos
1
2
А так же
x
x
sin
sin
1
x 1
2 lim x 0
2 x lim
lim sin
lim
x 0
x 0
2 x 0 x
2 2 x 0 x
2
2
0
1
Следовательно:
lim y 0
x 0
и функция y=cos x является непрерывной на
всей числовой оси.