Работа электростатического поля. Лекция 2

1.

Работа электростатического поля
Постановка задачи. Точечный заряд q создает эл/ст поле.
В этом поле из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории
перемещается другой заряд q0
Чему равна работа, совершаемая полем?
Согласно определению введенному в механике работа (dА)
определяется скалярным произведением:
dA F dr ;
dA элементарная работа (элемент работы);
F сила совершающая работу;
dr перемещение в направлении действия силы;
Работу совершает, только та компонента силы, которая совпадает с
перемещением
Согласно рисунку и определению работа электростатической силы равна:
1 qq0
dA F dr F dl cos
dr ;
2
4 r
dr
dr элементарное перемещение заряда в направлении
действия силы (сила центральная действует радиально);
dl элемент траектории по которой перемещается заряд;
1

2.

Работа при движении по всей траектории из точки 1 в точку 2 равна;
r2
A12 dA
r1
r2
qq0 dr
qq0 1 1 qq0 1 1
2
4 0 r r
4 0 r2 r1 4 0 r1 r2
1
Т.Е. работа определяется только положениями начальной и конечной точек.
Из этого следует, что работа электростатического поля по перемещению заряда
в по любому замкнутому контуру равна нулю.
Такие поля называются потенциальными, а силы их создающие консервативными
Вывод: Электростатическое поле точечного заряда является потенциальным,
а электростатические силы - консервативными
2

3.

Работу можно представить еще следующим образом:
r2
r
r
r
1
1
1
1
2
2
2
q0
A12 q
dr q E (r )dr q E (l ) cos dl q E (l ) dl
2
4
r
0
r
r
r
r
r2
Величина
r E (l ) dl
1
т.е. линейный интеграл (т.е. взятый по линии)
называется циркуляцией вектора напряженности, и
представляет собой работу при перемещении
единичного положительного заряда.
E(l ) dl 0
L
Теорема о циркуляции вектора Е. Циркуляция
вектора напряженности электростатического
поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.
3

4.

Потенциальная энергия заряда
В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и тела могут совершать
работу за счет убыли потенциальной энергии .
Представим выражение для работы A12 на слайде (1) при переходе тела из 1-2 в виде:
тогда правая часть это разность потенциальных энергий заряда q0 (пробного
заряда) в начальной и конечной точках поля заряда q:
Поскольку потенциальную энергию заряда q0,
находящегося в поле заряда q можно определить с
точностью до константы, то выражение для энергии :
При удалении заряда на бесконечность, W обращается в нуль, получаем: const = 0.
Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия положительна
(отталкивание), для разноименных зарядов – отрицательна (притяжения).
Потенциальная энергия W заряда q0 находящемся в поле системы из n точечных
зарядов равна сумме его энергий, создаваемых каждым из зарядов в отдельности U:
n
qi
i 1 4 0 ri
W0 q0
4

5.

10. Потенциал и разность потенциалов
электростатического поля заряда
Энергетическая характеристика поля, независящая от пробного заряда q0 и равная:
энергия W
1 q
=
=
заряд
q0 4 πε0 r
называется -потенциал.
Потенциал - скалярная величина, определяемая потенциальной энергией
единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.
Работа с помощью этого понятия выражается разностью потенциалов в начальной
и конечной точках:
A12 = W1 -W2 = q0 1 - 2 = q0
2
Тогда разность потенциалов:
A
1 - 2 12 E dl
q0
1
Другое определение потенциала – это работа
по перемещению единичного положительно
заряда из данной точки на бесконечность:
A = q0
Интегрировать можно
по любому пути.
A
=
q0
Потенциальная энергия на бесконечности (т. е. за пределами
поля) равна нулю, следовательно, и потенциал тоже и из
формула для работы следует это определение :
5

6.

Из определения потенциала видно, что это алгебраическая величина:
6

7.

Связь между напряженностью поля и потенциалом.
Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется
эквипотенциальной:
Если заряд q0 по эквипотенциальной
поверхности из точки. 1 перемещается в
точку 2. Элементарная работа
совершаемая полем:
т. е. вектор Е перпендикулярен к эквипотенциальной поверхности в каждой
ее точке (см. рисунок )
7

8.

Зададим две эквипотенциальные поверхности с потенциалами:
1 и 2 расстояние между ними n. Здесь n
- взято, чтобы показать что расстояние по нормали.
Расстояние между поверхностями очень мало так,
что напряженность не меняется
Работа перемещения через потенциал и напряженность
поля:
Следовательно
т. е. напряженность электростатического поля равна изменению потенциала
на единицу длины вдоль линии напряженности. Знак «минус» означает, что
вдоль линии напряженности потенциал убывает.
В пределе
т. e. напряженность равна градиенту
потенциала с обратным знаком.
8

9.

1. Потенциал бесконечно заряженной плоскости между точками,
лежащими на расстояниях х1, и x2 от плоскости:
2. Разность потенциалов между заряженными
плоскостями
3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности
R- радиус сферы (внутри сферы зарядов нет)
Внутри сферы
потенциал
4. Потенциал равномерно объемно заряженного
шара R- радиус шара
q
R2
=
4πε0 R 3ε0
Вне шара r > R
На поверхности шара r = R
Внутри шара r < R
q
R3
=
4πε0 R 3ε0 r
9

10.

Единица потенциала - вольт (В):
1В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1Кл обладает
потенциальной энергией 1Дж (1В=1Дж/1Кл).
Принцип суперпозиции : потенциал поля, создаваемого несколькими зарядами
(системой), равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов.
Графическое изображение распределения потенциала - эквипотенциальные
поверхности, во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение.
Разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями
одинакова.
Густота эквипотенциальных поверхностей характеризует напряженность поля в разных
точках.
Вектор Е перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и направлен в сторону
убывания потенциала.
10

11.

11. Диполь
Электрический диполь (или двойным электрическим полюсом)- система
двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+q, -q),
расстояние l между которыми l <<r расстояния r до точки, в которой это поле
рассматривается
Плечо диполя l - вектор, направленный по оси диполя от « – » к « + »
Электрический момент диполя –
pe - вектор, совпадающий по направлению с плечом диполя и равный:
pe = q l
Используя принцип суперпозиции
рассчитаем электростатическое поле диполя…
11

12.

Случай 1) Напряженность поля диполя на продолжении его оси в точке А
EA = k
q
-k
q
=
r - l 2 r + l 2
2
2
q r + l 2 q r - l 2
2qlr
2
2
2
2
2
r - l 2 r + l 2
r
l
2
2
= учитывая, что r >> l получаем = k
2
2q l
2 pe
=
k
r3
r3
Определено и направление поля: оно направлено от диполя
12

13.

Случай 2) Напряженность поля в точке В, лежащей на перпендикуляре,
восстановленном к оси диполя из его середины.
Модуль вектора напряженности поля в точке В
от обеих зарядов равен:
E+ = E- = k
q
r + l 2
2
=k
2
q
r
2
Воспользовавшись принципом суперпозиции
(сложения) векторов получим направление
результирующего поля (см.рис) и величину
напряженности в точке В.
Выразим значение этой напряженности через значение диполя.
Возьмем ки
B и EВ E B
E B E
:
Они подобны и
l (r ) 2 (l / 2) 2
составим пропоцию
EB E
l
(r ) 2 (l / 2) 2
E
l
q l
pe
; или EB = k
=
k
2
3
(r )
r r r
Согласно рисунку его направление
противоположно вектору l, поэтому
EB = k
q
l
pe
=
k
2
3
r
r
r
векторный вид : EB = k
q
l
pe
=
k
2
3
r
r
r
13

14.

Общий случай 3) сводится к двум рассмотренным частным.
Постановка задачи:
Найти напряженность поля диполя p (ВС) в точке A в СГС-системе (эту систему
используем, чтобы избавится от коэффициента k).
Решение:
а) на линии ВА в точкуD поместим два заряда +q и –q, (заряды друг друга
компенсируют - поле не изменится), но при этом получаем два диполя (см. рис.);
б) из точки D направление на С составляет перпендикуляр с прямой ВС.
Таким образом напряженность поля в точке А
Можно представить в виде суперпозиции полей от двух
диполей с моментами p1 (BD) и р2(DC):
E=
2 p1 p2
- 3;
3
r
r
p
p
Согласно операциям с векторами p1 + p2 = p или
p2 = p - p1 . Здесь p это исходный диполь. Делаем замену...
3 p1 p
- 3;
3
r
r
Модуль p1 через исходный диполь p1 = p cos или ( pn ).
E=
n - единичный вектор направления на точку A. Получили :
E=
3 pn
r4
r-
p r - вектор положения точки A
;
r 3 относительно диполя.
Векторная запись…
14

15.

Определим модуль вектора напряженности в точке А:
E=
2 p1 p2
r3 r3
p
2
p
2
1
2p p
E = Е + Е = 3 1 + 32 = 3 4 p 2 cos 2 α + p 2sin 2 α =
r
r r
p
= 3 4cos 2 α + sin 2α
r
sin 2 α+cos 2 α=1
2
2
Результат : E =
p
2
1+
3cos
α
3
r
-угол под которым видна точка А от диполя при этом l <<r
15

16.

Диполь во внешнем электростатическом поле
На заряды диполя действует силы – возникает момент, поворачивающий электрический
диполя вдоль направления поля.
Если диполь располагается параллельно электрическому полю – положение
устойчивое, если антипараллелено - неустойчиво.
В однородном поле результирующая сил равна нулю:
силы действующие на положительный и отрицательный заряды диполя равны по
модулю, но противоположны по направлению и диполь покоится
16

17.

В неоднородном поле действующие на диполь силы не равны
F+ < F-
F+ > F-
Во внешнем неоднородном поле диполь :
поворачивается по полю;
передвигает в область поля с большей
напряженностью, под действие
результирующей силы
(втягивается в область более сильного поля).
17