Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. (Семинар 36)

1. Презентация по Математическому Анализу Семинар 36

2.

Линейные дифференциальные уравнения 2-го
порядка с постоянными коэффициентами.
1. Однородное уравнение.
Линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и q без
правой части имеют вид
Если k1 , k 2
y’’+py’+qy=0 (1).
- корни характеристического уравнения
(k ) k 2 pk q 0
то общее решение уравнения (1) записывается в одном из следующих трех видов:
1)
y C1e k1x C 2 e k2 x , если k1 , k 2 R, k1 k 2
2)
y e k1x (C1 C 2 x) , если
x
3) y e (C1 cos x C2 sin x)
k1 k 2
, если k1 i, k 2 i, ( 0)
(2),

3.

2. Неоднородное уравнение
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
y’’+py’+qy=f(x) (3) можно записать в виде суммы y y 0 Y , где y 0 общее решение соответствующего уравнения (1) без правой части, определяемое
по формулам (1)-(3), и Y – частное решение данного уравнения (3).
Функция Y может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в
следующих простейших случаях:
1. f ( x) e ax Pn ( x) , где
Pn (x) - многочлен степени n.
Если ( a bi ) 0 , то полагают
Y e ax [ S N ( x) cos bx TN ( x) sin bx]
где
S N ( x), TN ( x)
- многочлены степени N=max{n,m}.

4.

Если же
(a bi ) 0
то полагают
Y x r e ax [ S N ( x) cos bx TN ( x) sin bx]
где
S N ( x), TN ( x) - многочлены степени
r – кратность корней
N=max{n,m},
a bi (для уравнений 2-го порядка r=1).
В общем случае для решения уравнения (3) применяется метод вариации
произвольных постоянных.
Этот
метод
применяется
для
отыскания
частного
решения
линейного
неоднородного уравнения n-го порядка как с переменными, так и с постоянными
коэффициентами, если известно общее решение соответствующего однородного
уравнения.
Метод вариации для уравнения второго порядка
следующем.
y’’+py’+qy=f(x)
заключается в

5.

y1 , y2
Пусть известна фундаментальная система решений
.
Тогда общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде:
y C1 ( x) y1 C2 ( x) y2
где функции C1 ( x), C2 ( x) определяются из системы уравнений
C1' ( x) y1 C 2' ( x) y 2 0
'
C1 ( x) y1' C 2' ( x) y 2' f ( x)
Решение этой системы находим по формулам:
C1 ( x)
y 2 f ( x)dx
; C 2 ( x)
W ( y1 , y 2 )
y1 f ( x)dx
W ( y1 , y 2 )
в силу чего y(x) можно сразу определить по формуле:
y ( x) y1
y 2 f ( x)dx
y f ( x)dx
y2 1
W ( y1 , y 2 )
W ( y1 , y 2 )
здесь W ( y1 , y 2 )- вронскиан решений y1 , y 2

6.

Примеры с решениями.
1. Найти общее решение уравнения
Решение.
y’’-5y’+6y=0
Составим характеристическое уравнение
k 2 5k 6 0
его корни k1 2; k 2 3
Следовательно,
e 2 x , e 3 x - частные линейно независимые решения,
а общее решение имеет вид:
y C1e 2 x C2 e 3 x
2. Решить уравнение
y' ' 2 y' 2 y x 2
Решение. Характеристическое уравнение
k 2 2k 2 0 имеет корни
k1, 2 1 i , а поэтому общее решение однородного уравнения
y e x (C1 cos x C 2 sin x)

7.

Частное решение следует искать в виде:
y Ax 2 Bx C
(в данном случае 0, 0, i 0; так как корня 0 у характеристического
уравнения нет , то
m=n=2 и r=0, имеем:
y Ax 2 Bx C
2 y ' 2 Ax B
1
y' ' 2 A
2
y ' ' 2 y ' 2 y 2 Ax 2 (2 B 4 A) x (2C 2 B 2 A) x 2
Решая систему уравнений:
2 A 1
2 B 4 A 0
2C 2 B 2 A 0
A 1/ 2
B 1
C 1 / 2
Следовательно, общее решение исходного уравнения:
y e x (C1 cos x C 2 sin x )
1
( x 1) 2
2

8.

3. Решить уравнение y' ' y xe x 2e x
Решение.
Характеристическое уравнение
k 2 1 0
имеет корни k1, 2 i
а поэтому общее решение однородного уравнения:
y C1 cos x C2 sin x
Пользуясь принципом наложения, частное решение исходного уравнения следует искать
в виде:
y y1 y 2 ( Ax B)e x Ce x
(имеем для
то
y1 : f1 ( x) xex , 1 1, 1 0; 1 1i 1; поскольку такого корня нет,
r1 0; n m 1; для y 2 : f 2 ( x) e x , 2 1, 2 0; 2 2 i 1; r2 n1 m1 0)

9.

Итак,
x
x
1 y ( Ax B )e Ce
0 y ' Ae x ( Ax B )e x Ce x
1 y ' ' 2 Ae x ( Ax B )e x Ce x
y' ' y 2 Axex (2 A 2B)e x Ce x xex 2e x
Решая систему уравнений:
2 A 1
2 A 2 B 0
2C 2
A 1/ 2
B 1 / 2
C 1
Следовательно, общее решение исходного уравнения:
y C1 cos x C 2 sin x
1
( x 1) e x
2

10.

Примеры для самостоятельного решения
1. Найти общие решения уравнения:
1. y ' ' y ' 2 0
3. y ' ' y ' 0
2. y ' ' 25 y 0
4. y ' ' 4 y ' 4 y 0
5. y ' ' 5 y ' 6 y 0
2. Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным или
краевым условиям:
1. y ' ' 5 y ' 6 y 0; y (0) 1; y ' (0) 6
2. y' ' 10 y ' 25 0; y (0) 0; y ' (0) 1
3. y' ' 3 y' 10 y 0; y( / 6) 0; y' ( / 6) e / 6
4. y ' ' 3 y ' 0; y (0) 1; y ' (0) 2
5. y ' ' 9 y 0; y (0) 0; y ' ( / 4) 1
3. Решить уравнения:
1. y' ' 4 y' 3 y e 5 x ; y(0) 3; y' (0) 9;
3. y' ' 6 y' 8 y 3x 2 2 x 1
2. y ' ' 6 y ' 16 y 2 sin x 3 cos x
4. y ' ' 4 y cos 2 x; y (0) 0; y ' ( / 4) 0

11.

5. y' ' 3 y' 10 y xe 2 x
6. y ' ' y x cos 2 x
7. y ' ' 2 y ' 2 y e x sin x