Potensialli maydon. Potensiallilik shartlari. Potensialli maydon uchun chiziqli integralni hisoblash

1.

POTENSIALLI MAYDON. POTENSIALLILIK
SHARTLARI. POTENSIALLI MAYDON
UCHUN CHIZIQLI INTEGRALNI
HISOBLASH
Ochilov Zokirjon Tuynazar o’g’li
NavDKTU Kimyo metallurgiya fakulteti 1-24 iqtisodiyot guruh talabasi
Pirimov Akram Pirimovich
NavDKTU “Oliy matematika va AT” kafedrasi dotsenti

2.

• Agar a ( M ) P ( x, y , z )i Q ( x, y , z ) j R ( x, y ,vektor
z ) k maydonnning uyurmasi
soxaning hamma nuqtalarida nolga teng bo’lsa, bu maydon shu sohada potensialli (yoki
gradiyentli yoki uyurmasiz) maydon deyiladi.
Potensialli maydonning ta’rifiga ko’ra maydonning har bir nuqtasi uchun:
R Q
Q P
P R
rot(M)=
i
k =0
j
z x
y z
x y
bo’ladi, ya’ni quyidagi ayniyatlar o’rinli bo’ladi:
R Q
,
y z
P R
,
z x
Q P
x y
Demak, (1) shartlarning bajarilishi vektor maydonning potensiallilik shartlari bo’lar
ekan Gradiyenti а (x,u,z) vektor maydonni vujudga keltiruvchi u(x,u,z) skalyar
funksiya shu vektor maydonning potensialli funksiyasi deyiladi.

3.

u
u
u
i
j
k a munosabat bilan ifodalanadi,
Demak, potensialli maydon gratu=
x
y
z
bunda a P ( x, y, z )i Q ( x, y, z ) j R ( x, y, z ) k bo’lib, shu bilan birga rot а = 0
yoki rotgratu= 0 bo’ladi.
• Ushbu a ( x 2 2 yz )i ( y 2 2 xz ) j ( z 2 2 xy )k
• Maydon potensialli maydon
bo’lishi yoki bo’lmasligini tekshiring.
P
2 z ,
y
P
2 y,
z
• Bunda R=
• Q=
• R=
bulgani uchun
bularning xususiy hosilalarni
topamiz.
Q
2 z ,
z
Q
2 x,
z
R
2 y
x
R
-2 x
y

4.

R
Q
P
Q
R
P
Ko’rinib turibdiki y z 2 x, z x 2 y, x y 2z (1)
shartlar bajariladi, shuning uchun berilgan maydon potensialli
maydondir.
Agar fazoviy soha bir bog’lamli bo’lsa, u holda potensialli
maydondagi chiziqli integral integrallash yo’liga bog’lik bo’lmasdan,
balki shu yo’lning boshlang’ich A hamda oxirgi B nuqtalarining
koordinatalariga bog’lik bo’ladi va u(x,u,z) funksiyaning shu
nuqtalardagi orttirmasiga teng bo’ladi, ya’ni
P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz u( x , y , z ) u( x , y , z )(2)
B
B
B
A
A
A
AB
bu yerda AB yo’l – A(xA, uA, zA) nuqtadan B(xV, uV, zV,)
nuqtagacha ixtiyoriy integrallash yo’li. Odatda bunday yo’l tarzida
ABCD siniq chiziq olinadi, uning AC, CD va DB qismlari
koordinatalar o’qiga parallel. Bu xolda potensialni hisoblash
formulasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
(3)

5.

Bu integraldada
AC x x 0 i,
CD y y 0 j ,
DB z z 0 k
Bu integraldada
Agar potensialli maydon kuch maydoni bo’lsa, u holda bunday maydonda nuqtani ko’chirishda
bajarilgan ish maydonning bir A nuqtasidan ikkinchi B nuqtasiga ko’chirish yo’liga bog’lik
bo’lmaydi va (2) formula bo’yicha hisoblanishi mumkin.
Potensialli vektor maydonda bir bog’lamli sohada yotgan xar kanday L yopik egri chizik
buyicha sirkulyatsiya nolga teng. Kuch maydoni uchun bu maydon kuchlarining xar kanday L
yopik egri chizik buyicha bajargan ishi nolga teng buladi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1.Piskunov N.S. “Differensial va integral hisob”, 2- tom, T.. “O’qituvchi”, 1974.
2.Soatov YO. U. “Oliy matematika”, 1-jild, T. “O’qituvchi”, 1994
3.Smirnov V.I. “Kurs vыsshey matematiki”. M. “Nauka”, 1974, T.2.