Лекция 6 (продолжение)

1.

Лекция 6 (продолжение)
Решение систем m линейных уравнений с n
неизвестными
План:
• Метод Гаусса
• Ранг матрицы
• Исследование систем линейных уравнений
• Однородные системы линейных уравнений

2.

Рассмотрим задачу решения СЛАУ размерностью (m x n)
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
. . . . . . .
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm .
*
где числа а11, а12,…аmn – коэффициенты системы,
b1, b2,…bm - свободные члены системы,
х1, х2,…хn - неизвестные.

3.

Опр. Решением системы уравнений (*) называется такой
набор чисел α1, α2,… αn , при подстановке которых в эту
систему
каждое
равенство.
уравнение
обращается в
верное

4.

Определение. Система уравнений, имеющая хотя бы одно
решение, называется совместной.
Если система не имеет решений, то она называется
несовместной.

5.

Запишем систему в матричном виде:
a11 a12 a13 a1n x1 b1
a21 a22 a23 a2 n x2 b2
или
a a
x b
a
a
mn n m
m1 m 2 m3
a11 a12 a13 a1n b1
a21 a22 a23 a2 n b2
A
a a a a b
m
mn
m1 m 2 m 3
A X B
Расширенная матрица
системы

6.

Метод Гаусса решения систем линейных
уравнений
Суть метода: с помощью элементарных преобразований над строками
расширенная матрица приводится к треугольному или ступенчатому
виду.
a11 a12 ... a1n b1
0
c
...
c
d
22
2n 2
.
.
.
. .
0
0
...
c
d
nn n
a11
0
.
0
a12
c22
.
0
... a1m
... c2 m
.
.
... cmm
... a1n b1
... c2 n d 2
.
. .
... cmn d m

7.

Метод Гаусса решения систем линейных
уравнений
Следующие действия над расширенной матрицей системы называются
элементарными преобразованиями:
• Умножение или деление элементов строк на одно и то же число,
не равное нулю
• Перестановка местами двух строк
• Прибавление к элементам строки элементов другой строки,
умноженных на произвольный множитель.

8.

Полученная
уравнений:
матрица
соответствует
преобразованной
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
c22 x2 ... c2 n xn d 2 ,
...
cnn xn d n .
В этом случае, начиная с последнего уравнения, находим
последовательно значения всех неизвестных xn, xn-1,…x1
системе

9.

Пример: Решить систему уравнений
методом Гаусса.
4 x1 2 x2 x3 0,
x 2 x x 1,
2
3
1
x2 x3 3,
Расширенная матрица системы имеет вид:
Переставим строки (для удобства):
1 2 1 1
0
1
1
3
.
4 2 1 0
1 2
1 1
0
1
1
3
0 6 5 4
к третьей строке прибавим
4 2 1 0
A 1 2 1 1 .
0 1 1 3
От третьей строки отнимем первую,
умноженную на 4:
1 2 1 1
0
1
1
3
.
0 0 11 22
вторую, умноженную на 6

10.

1 2 1 1
0
1
1
3
.
0 0 11 22
третью строку разделим на (-11)
Матрица приведена к треугольному
виду, ей соответствует
преобразованная система
уравнений:
1 2 1 1
0
1
1
3
.
0 0 1 2
x1 2 x2 x3 1,
x2 x3 3,
x3 2.
Находим решение этой системы, начиная с последнего
уравнения:
x3 2,
x2 3 x3 3 2 1,
x 1 2 x x 1 2 2 1.
2
3
1
1
X 1
2

11.

Ранг матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу размерностью (m x n).
a11 a12
a21 a22
a
a32
31
a
m1 am 2
a13
a23
a33
am 3
a12 a1n
a1n
M2
a11 a12 aa32
1n a3n
a2 n
a11 a12
a3111 aa32
12 a13
a3n M 3M 2 a
3n
a21 a22
M 3 aam21
23
1 aam22
2 amn
a31 a32 a33
amn
Выделим в этой матрице произвольное число k строк и k столбцов.
Элементы матрицы А, стоящие на пересечении выделенных строк и
столбцов, образуют определитель k - того порядка.
Минором k-того порядка матрицы А называют определитель, полученный
из А выделением произвольных k строк и k столбцов.

12.

Ранг матрицы
Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля
минора этой матрицы
2 3 4 5
A 0 2 3 1
0 2 2 4
Матрица А имеет 4 минора 3 - его порядка,
например:
18 миноров 2 - го порядка, например:
2 3 4
0 2 3 20
0 2 2
2 3
4
0 2
12 миноров 1 - го порядка – сами элементы.
Наибольший порядок отличного от нуля минора этой
матрицы равен 3, поэтому:
r( A ) 3

13.

Нахождение ранга матрицы на практике
Определитель, порядок которого равен рангу матрицы, называется
базисным минором. Он может быть не единственным.
Эквивалентные преобразования не меняют ранга матрицы. Поэтому,
когда требуется вычислить ранг матрицы, ее приводят к треугольному
виду.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк матрицы, приведенной к
треугольному виду
1 3 2 1 3 2 ( 2) 1 3 2
A 0 5 4 ~ 0 5 4
0 5 4
~
1 7 6
0 0 0
0 10 8
r( A ) 2

14.

Исследование систем линейных уравнений
Теорема Кронекера - Капелли
Для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений была
совместна , необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы
равнялся рангу расширенной матрицы:
r ( A) r ( A)

15.

Исследование систем линейных уравнений
Возможные случаи:
Если r ( A) r ( A) n (числу неизвестных), то система совместна и
определенна (имеет единственное решение).
Если r ( A) r ( A) n ,то система совместна и неопределенна (имеет
бесконечное множество решений).
Если r ( A) r ( A) , то система несовместна (не имеет решений).
При решении систем линейных алгебраических уравнений нет
необходимости заранее вычислять ранги основной и расширенной
матриц. Их определение производится автоматически при выполнении
метода исключения Гаусса.

16.

Пример
x1 2 x2 4 x3 1
2 x1 x2 5 x3 1
x x x 3
1 2 3
1 2 4 1
0 3 3 3
0 3 3
2
1 2 4 1
2 1 5 1
1 1 1 3
~
( 2)
~
1 2 4 1
0 3 3 3
0 0
0
5
r ( A) 3
r ( A) 2
r ( A) r ( A) система несовместна

17.

Однородные системы линейных уравнений
Система линейных уравнений называется однородной, если все
свободные члены ее равны нулю.
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a x a x a x 0
21 1 22 2
2n n
am1x1 am 2 x2 amn xn 0
Однородная система всегда имеет решение:

18.

Однородные системы линейных уравнений
Однородная система всегда имеет решение:
x1 0 x2 0 xn 0
Это решение называется тривиальным.
Оно является единственным решением системы в случае, когда ?
Если
?
, то система имеет бесконечное множество решений.

19.

Пример:
x1 x2 5 x3 7 x4 0
2 x1 x2 4 x3 x4 0
3 x 2 x x 6 x 0
2
3
4
1
1 1 5 7
1
2 1 4
3 2 1 6
1 1 5 7
~
0 1 14 15
0 1 14 15
1 1 5 7
0 1 14 15
( 2)
( 3)
~
1 1 5 7 ( 1)
~
0 1 14 15
0 0
0
0
r ( A) 2
n 4
n r 4 2 2 - число свободных переменных

20.

Обозначим:
x3 C1
x4 C 2
x1 x2 5C1 7C2
x1 x2 5C1 7C2 0
x2 14C1 15C2
x2 14C1 15C2 0
x1 14C1 15C2 5C1 7C2 11C1 12C2
x2 14C1 15C2
11C1 12C2
14C1 15C2
X
C1
C
2
Общее решение